Egyptische wiskunde + papyrus

Inhoud:
Inleiding
Rekenen in het oude Egypte
Schrijfwijze van getallen
optellen en aftrekken
vermenigvuldigen en delen
breuken
toepassingen
papyrus
hiërogliefen
nawoord

Inleiding
Voor M&T hebben we een opdracht gekregen om iets over Egypte te onderzoeken bijvoorbeeld: de Papyrus, de Egyptische rekenmethode en over hiërogliefen.

Toen onze voorouders nog in hutten woonden en in berenvellen rond liepen. Was in Egypte men al veel verder ontwikkelt als bij ons. Ze konden toen al schrijven en rekenen. Dat deden ze op manieren waar onze moderne wiskunde van nu van afgeleidt is .
Zo\'n 2000 jaar v.Chr., dus zo\'n 4000 jaar geleden werd er in het Oude Egypte al volop gewerkt met getallen. Dat blijkt uit de zogenaamde Rhind-papyrus waarop de Egyptische schrijver Ahmes een groot aantal wiskundige problemen en hun oplossingen beschrijft. Deze problemen had hij verzameld uit de eeuwen voordat hij leefde (omstreeks 1650 v.Chr.). Andere (minder uitgebreide) bronnen van Oud-Egyptische wiskunde zijn de Moskou-papyrus,
De Kahun-papyrus en de Berlijn-papyrus
Daaruit blijkt dat de Egyptische samenleving in eeuwen van relatief stabiel bestuur een samenhangend systeem van getallen en rekenen met getallen wist op te bouwen. Dat dit gebeurde was ook niet zo vreemd: er ontstond voor het eerst een beschaving waarin van technologie sprake was, denk maar aan irrigatie en wegen, maar ook aan het bouwen van de piramiden. Bovendien waren de godsdienstige activiteiten sterk gebaseerd op de beweging van de zon en de maan en op het gedrag van de Nijl.

Rekenen in het Oude Egypte
De oudst bekende systemen van getallen noteren en rekenen stammen uit het Oude Egypte en het Oude Mesopotamië. Hier wordt besproken hoe de Oude Egyptenaren in de periode van 2000 tot 600 v.Chr. werkten met getallen.

Schrijfwijze van getallen
De Oude Egyptenaren kenden symbolen voor 1, 10, 100, 1000, 10.000, 100.000 en 1.000.000. Met deze symbolen werden getallen gemaakt. Vaak schreven de Egyptenaren hun getallen van rechts naar links. In het oude hiëroglyfenschrift zag dat er zo uit:

Bij een dergelijke schrijfwijze is de plaats van een symbool niet van belang: het Egyptische getalstelsel was geen positiestelsel zoals het onze. Ook een teken voor nul was daarom niet nodig. Het zou in feite nog vele eeuwen duren voordat zo\'n symbool werd bedacht.

Optellen en aftrekken
Optellen is in het Oud-Egyptische getalstelsel heel eenvoudig: je gooit van beide getallen gewoon alle symbolen op één hoop. Daarbij worden 10 eenheden vervangen door één tiental, 10 tientallen door één honderdtal, etc. Kijk maar:

Als ze twee getallen van elkaar moesten aftrekken dan deden de Egyptenaren dat door het kleinste van de twee aan te vullen tot het grootste. Eigenlijk net zoals veel mensen uitrekenen hoeveel geld je terug krijgt als je € 7,84 betaalt met een briefje van € 10,00: het is nog 6 cent tot € 7,90, dan nog 10 cent tot € 8,00 en tenslotte nog 2 euro tot het tientje is bereikt, dus het verschil is € 2,16.
De uitkomst van 4209 – 327 vonden ze dus door 327 aan te vullen tot 4209 was bereikt. Bijvoorbeeld zo:
· eerst 3 er bij tot 330;
· dan 70 erbij tot 400;
· dan 600 erbij tot 1000;
· dan 3000 erbij tot 4000;
· tenslotte nog 200 en 9 erbij tot 4209 was bereikt.
Zo vind je: 4209 – 327 = 3 + 70 + 600 + 3000 + 200 + 9 = 3000 + 800 + 70 + 12 = 3882.

Vermenigvuldigen en delen
De Oude Egyptenaren konden niet vermenigvuldigen
zoals wij dat tegenwoordig doen:
ze kenden immers ons tientallig stelsel niet.
Ze werkten met verdubbelen en halveren en bij elkaar tellen.
Hier zie je hoe dat gaat:

Wat in het Oud-Egyptische getalstelsel wel heel gemakkelijk gaat is het vermenigvuldigen met 10, of 100, of 1000, etc. Bijvoorbeeld bij vermenigvuldigen met 10 vervang je elk teken door het naast-hogere. Soms maakten ze ook daar gebruik van. Als een Egyptenaar bijvoorbeeld met vijf wilde vermenigvuldigen, dan kon hij dat doen door eerst het getal met 10 te vermenigvuldigen en dan door 2 te delen.
De vraag rijst natuurlijk of elke vermenigvuldiging is uit te voeren door verdubbelen, halveren en optellen. Dat blijkt inderdaad het geval te zijn, want elk natuurlijk getal is te schrijven als een som van machten van 2. (Dit is te bewijzen met de bewijsmethode van de volledige inductie, het dominoprincipe.)
Om bijvoorbeeld 237 · 18 uit te rekenen, schrijf je eerst 237 als som van machten van 2. Je ziet: 237 = 128 + 109 = 128 + 64 + 45 = 128 + 64 + 32 + 13 = 128 + 64 + 32 + 8 + 5 = 128 + 64 + 32 + 8 + 4 + 1, dus
237 · 18 = (27 + 26 + 25 + 23 + 22 + 1) · 18
Dit betekent dat je 237 · 18 uitrekent door 18 zeven keer te verdubbelen en dan de zevende, de zesde, de vijfde, de derde, de tweede verdubbeling en 18 zelf bij elkaar op te tellen, uitkomst: 4266.
Bij delen werkten de Oude Egyptenaren op vergelijkbare wijze als bij aftrekken.
Stel je voor dat je 630 / 18 wilt uitrekenen.
In het Oude Egypte ging je dan met 18 aan het verdubbelen en optellen tot je op 630 uitkwam.

Bij delingen die \'uitkomen\' (waarbij dus geen rest overblijft) werkt dit systeem prima. Maar hoe zit het met delingen die niet \'uitkomen\'?

Breuken
Als een deling niet uit kwam (er bleef een ondeelbare rest over) werkten de Oude Egyptenaren met breuken. Alleen kenden zij geen breuken zoals wij, zij werkten vrijwel alleen met zogenaamde stambreuken. Stambreuken zijn breuken waarvan de teller 1 is, zoals 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, etc.
De enige andere breuken die de Egyptenaren gebruikten waren 2/3 en 3/4.
Zij noteerden stambreuken door een \'open mond\' boven de noemer te zetten. Voor enkele breuken bestonden speciale schrijfwijzen.

De wiskundige J.J. Sylvester (1814 - 1897) bewees vele eeuwen later dat elke breuk kan worden geschreven als de som van een aantal stambreuken. Hij ontwierp een eenvoudige manier waarmee elke breuk als som van stambreuken kan worden geschreven. Daarbij trek je telkens van de breuk die je wilt omzetten in een som van stambreuken een zo groot mogelijke stambreuk af. Bijvoorbeeld:
13/20 = 1/2 + 3/20 = 1/2 + 1/7 + 1/140.
Bij het delen (vooral bij delingen die niet \'uitkomen\') gebruikten de Oude Egyptenaren verdubbelen en halveren. Hier zie je bijvoorbeeld (het is opgave 24 van de Rhind papyrus) hoe ze 19 deelden door 8:

Je ziet dat de Egyptenaren vaak werkten met de rij 1/2, 1/4, 1/8, ...
Maar daarmee konden niet alle delingen worden gemaakt!
Daarom werden ook wel andere rijen gebruikt.
Bijvoorbeeld: 2/3, 1/3, 1/6, 1/12, ...
Deze rij ontstaat door eerst 2/3 deel te nemen en dan te halveren. Als je bijvoorbeeld 20/24 wilt uitrekenen is dit een goede aanpak.
Nog steeds kunnen niet alle delingen worden gemaakt. Er werden derhalve nog andere \'trucs\' toegepast. Bijvoorbeeld:

Hiermee is nog steeds niet alles gezegd over de Oud-Egyptische rekenkunde.
Er zijn delingen waarvoor nog weer andere technieken werden gebruikt. Bovendien waren de Egyptenaren in staat om breuken op elkaar te delen. Daarbij gebruikten ze tabellen, zoals een tabel waarin breuken van de vorm 2/m (met m oneven) werden geschreven als de som van stambreuken. (Als m een even getal is, is zo\'n tabel overbodig, want dan is de breuk te vereenvoudigen tot de vorm 1/n.)

Toepassingen
De Oude Egyptenaren pasten hun rekenkundige kennis toe op zowel algebraïsche als meetkundige problemen. Je ziet er hier een paar voorbeelden van.
Eerst een hoeveelheidsberekening, het berekenen van een nog onbekende hoeveelheid. Tegenwoorig worden dergelijke problemen opgelost door voor de onbekende een letter te nemen en dan een vergelijking te maken.

Een hoeveelheid en het zevende deel van die hoeveelheid zijn samen 19. Hoe groot is die hoeveelheid?

Oplossing van de Oude Egyptenaren:
Neem aan dat de oplossing 7 is (eenzevende deel van 7 is gemakkelijk uit te rekenen).
Het totaal wordt dan 7 + 1/7 van 7, dus 8.
Nu is 19/8 = 2 + 2/3.
Dus is 19 te verdelen in 7 · (2 + 2/3) en 1 · (2 + 2/3).
De gezochte hoeveelheid is 7 · (2 + 2/3) = 16 + 5/8.

Het volgende voorbeeld is afkomstig van de Berlijnse papyrus. Het is een oppervlakteberekening met twee onbekenden.

De som van de oppervlakten van twee vierkanten is 100. Drie keer de zijde van het éne vierkant is even groot als vier keer de zijde van het andere vierkant. Hoe groot zijn de zijden van deze vierkanten?

Oplossing van de Oude Egyptenaren:
Neem aan dat de zijden 4 en 3 zijn.
De totale oppervlakte wordt dan 42 + 32 = 25.
Nu is 25 = 52 en 100 = 102.
Verder is 10/5 = 2.
De gezochte zijden zijn 2 · 4 = 8 en 2 · 3 = 6.

De meeste van de problemen die voorkomen op de eerder genoemde papyrussen lijken erg praktisch van aard. De wiskunde van de Oude Egyptenaren wordt dan ook vaak gezien als toegepaste rekenkunde. En die toepassingen waren ook vaak echt op de dagelijkse praktijk gericht zoals het verdelen van hoeveelheden, het bepalen van oppervlakte en inhoud, en dergelijke. Hoe dergelijke zaken moesten worden aangepakt werd uitgelegd in een groot aantal voorbeeldberekeningen. Vooral de Rhind-papyrus staat daar vol mee. De teruggevonden teksten moeten dan ook waarschijnlijk worden gezien als leerboeken voor mensen die dergelijke berekeningen moesten uitvoeren: beginnende rekenmeesters.

Papyrus
Achtervolgd door de woede van Seth, de broer en moordenaar van Osiris, vinden Isis en haar zoon Horus bescherming in het dichte papyruswoud dat de Nijldelta bedekt. Dit is tekenend voor het belang van de papyrusplant in de mythologie en de geschiedenis van Egypte. De papyrusplant, een koninklijk gewas, symbool van vreugde, toverstaf van godinnen, bedekt de vochtigste delen van de Nijldelta en speelt een belangrijke rol in het dagelijkse leven van de Egyptenaren. De plant wordt aanbeden en met blijdschap en jeugd geassocieerd. En inderdaad is er geen moment op de dag dat hij niet in een of andere vorm in het leven van de bevolking aanwezig is. Men maakt er sandalen, lendendoeken en manden van, eet het zachte deel van de stengel, nadat het “in een zeer warme oven gestoofd is”, tenminste dat is wat Herodotus, een echte smulpaap, aanbeveelt. De wortels doen dienst als brandstof en het merg wordt gebruikt om pitten voor fakkels te maken. Papyrus is ook voor de scheepsvaart van belang, want het wordt gebruikt voor het dichtmaken van gaten, voor de productie van zeilen en touwen en voor de bouw van de kleine vlotten waarop men zich in het moeras verplaatst. Maar verwerkt tot een wit, sterk soort papier, schrijfmateriaal voor het hiërogliefen schrift, is papyrus het meest waardevol gebleken, omdat het de mogelijkheid schiep om teksten die kennis en inzicht in de Egyptische beschaving verschaffen door te geven. Papyrus groeit vooral in de moerassige delen van de Nijldelta. Het vormt heuse papyruswouden met toppen die wel 5 toto 6 meter hoog kunnen worden. De boeren die leven van de veeteelt, de jacht en de visvangst wonen in een aantal dorpen en gehuchten op de enkele hoger gelegen plaatsten die bij hoogwater droog blijven. Deze wereld tussen hemel, zee en aarde brengt allen die leven van de “koninklijke plant”bij elkaar. Onder de deltabewoners zijn ruige arbeiders, “papyrusplukkers”. Ze werken midden in een woud van weelderig groen, papyrus, witte en blauwe lotusplanten, Nijl acacia’s en trekken van bos naar bos om er een voor een de stengels van de kostbare plant te kappen. Het was zwaar werk, want de rietsnijders kunnen zich alleen met grote moeite door het moerasgebied verplaatsen; dode zijarmen, modderkuilen en meertjes vormen grote gevaren die kost wat kost vermeden moesten worden, net als ontmoetingen met nijlpaarden, krokodillen, cobra’s en andere gevaarlijke dieren die de rust en de klamme warmte tussen het papyrusriet verkiezen. Aan het eind van de dag lopen de rietsnijders gebukt onder het gewicht van reusachtige schoven over smalle droge paadjes die alleen zij kennen terug naar de ateliers. Pas daarna keert ieder op zijn vlot van aan elkaar geknoopte papyrusstengels naar huis terug. Om papyrus tot papier te verwerken vereist kennis en vaardigheid die de Egyptenaren sinds het ontstaan van hun land van generatie op generatie aan elkaar hebben doorgegeven. Al er voor de tijd van de dynastieën waren de Egyptenaren in staat uit de vezelachtige kern van de papyrusstengels een wit, soepel maar sterk papier te maken, dat geen inkt opzuigt en de tand des tijds doorstaat. Omdat de productie erg kostbaar is, mag papyrus maar zeer beperkt gebruikt worden en alleen voor belangrijke teksten, zoals archiefstukken, boekhoudkundige documenten, godsdienstige, wetenschappelijke en literaire werken. Als in een graf papyrus aangetroffen werd, duidde dit op een hoge status van de dode. de papyrusstengel wordt in stukken gehakt die even lang zijn als de gewenste hoogte van het papier. Papyrusmakers met heel fijne vingers, snijden het merg van de plant in fijne stroken die vervolgens met een hamer platgeslagen worden. De doorzichtige stroken worden in twee lagen kruiselings over elkaar gelegd. Het blad dat zo ontstaat wordt vochtig gehouden en lang beslagen. Als het eenmaal droog is worden de vellen aan elkaar geplakt tot een papyrusrol (medjat), waarvan de langste tot 40 meter lang kunnen zijn. De banen worden opgerold met de horizontale vezels - de kant die beschreven gaat worden - naar binnen.

Hiërogliefen

Er komt nog meer uitleg over hiërogliefen maar dit is het alfabet een simpele manier om je eigen naam te schrijven.
Louise
Eigenlijk zouden de Egyptenaren genoeg hebben gehad aan de 26 hiërogliefentekens, die ik hier boven heb afgebeeld, om ieder woord te spellen. In werkelijkheid hebben zij dat nooit gedaan. Zij gebruikten hun lettertekens op drie verschillende manieren. Dat heeft er mee te maken dat hun lettertekens eigenlijk afbeeldingen zijn van dagelijkse zaken zoals zij die om zich heen zagen of die zij gebruiken.


We geven een paar voorbeelden:
Dit is een eenvoudige plattegrond van een huis en kan dan ook ‘huis’ betekenen.

Of de eenvoudige afbeelding van een menselijke mond.

Of twee lopende benen, wat ‘komen kan betekenen. Als tekens zo worden gebruikt noemen wij deze ideogrammen.
Trouwens ook wij gebruiken tegenwoordig ook nog ideogrammen: Ik van jou.
Dit gebruik van hiëroglyfen lijkt heel eenvoudig maar in de praktijk kan je er toch niet zo veel mee. Alle talen hebben zo veel woorden dat je niet ieder woord alleen maar met een plaatje af kan beelden. De meeste talen gebruiken dan ook tekens, letters, die klanken aangeven. Zo’n teken ( een A, of een Z) noemen we een fonogram (een geluidsteken). De ontdekking dat symbolen (letters) op deze manier beter gebruikt konden worden is een van de belangrijkste en oudste ontdekkingen uit de menselijke geschiedenis. Het wordt ook wel het ‘rebus-principe’genoemd. Een rebus is bijvoorbeeld een zin gemaakt met behulp van klanken die niets met de oorspronkelijke betekenis van het symbool te maken hebben. Ik geef een voorbeeld vanuit het Engels met behulp van drie hiëroglyfen.
oog (in het Engels ‘eye’),

bij (in het Engels ‘bee’)

blad (in het Engels ‘leaf’)

Zet je deze woorden, met de Engelse klanken in het achterhoofd volgens het rebus-principe dan krijg je:
I believe. Een zin die dus niets meer met ogen, bijen of bladeren te maken heeft.
In principe werd in het hiëroglyfenschrift van deze manier van schrijven heel veel gebruik gemaakt. Veel meer dan van ideogrammen. Zo bestaat er bijvoorbeeld een woord dat zo geschreven wordt:

In het Egyptisch worden deze twee tekens samen uitgesproken als ‘per’ en het betekent ‘klimmen’. De hiëroglyfen worden dus gebruikt voor klanken en niet als plaatjes.
Soms kunnen woorden in een taal hetzelfde klinken maar iets totaal anders betekenen. Neem als voorbeeld het Nederlandse woord kruk. Dat kan een hulpmiddel bij het lopen zijn of een onhandig persoon. Dat kwam in het Egyptisch natuurlijk ook voor. Om duidelijk te maken wat zij met een woord bedoelden zetten de Egyptische schrijvers achter een woord soms nog een laatste hiëroglief. Ik ga even terug naar het derde teken, dat ik afbeeldde, de twee lopende benen en ik zet deze achter het woordje ‘per’:

Nu weet de lezer zeker dat de schrijver met de eerste twee hiëroglyfen het woord klimmen heeft bedoeld en niet een uitgebreidere vorm heeft gekozen om het woord huis te schrijven, wat in het Egyptisch ook mogelijk is. Zo toevoeging ter verduidelijking noemen we in de Egyptische grammatica een determinativum.
Het lastige bij het vertalen van Egyptische teksten is alleen dat de schrijvers geen vaste regels hanteerden en dat het aantal hiëroglyfen dat zij gebruikten vaak ook afhankelijk was van de hoeveelheid beschikbare ruimte op een steen of een stuk papyrus. Zo konden ze in het vorige voorbeeld, als dat zo uitkwam, ook heel goed de letter \"r\" (de mond) weglaten en eventueel ook de lopende beentjes. En dan staat er nog steeds per en dat kan dan nog steeds klimmen betekenen. Kortom bij het vertalen van Egyptische teksten is ook de context van de zin erg belangrijk. Een bijkomend probleem is bovendien dat hiëroglyfe teksten zowel van links naar rechts, van rechts naar links en van boven naar beneden geschreven kunnen worden.

Nawoord

Wij, Guido, Alwin Pim en Hielke hebben met plezier aan deze opdracht gewerkt. We hebben veel opgedaan van de technische kant van het oude Egypte. Wij wisten er namelijk bijna niks vanaf en door deze opdracht kunnen we misschien de Egyptische manier van rekenen zelf nog toepassen. Overigens zou het misschien nog leuk zijn om op een papyrusplant, die we zelf gekweekt hebben, te schrijven. Alleen het nadeel is dat de papyrusplant ongeveer 4 m. hoog wordt. Maar misschien kunnen we ‘m genetisch manipuleren zodat de plant minder hoog wordt.
Ik hoop dat u ons werkstuk en de PowerPoint presentatie mooi vond.