Hoofdstuk 1, 2, 3, 4

Wiskunde Hoofdstuk 1 Formules en Grafieken

1.1    Lineaire verbanden
Van de lijn y=ax+b is de richtingscoëfficiënt a.
Richtingscoëfficiënt is a betekend 1 naar rechts en a omhoog

Lijnen met dezelfde rico zijn evenwijdig.

Bij een gegeven lineaire formule kun je op de volgende manieren een lijn tekenen:
•    Gebruik het snijpunt met de y-as en de richtingscoëfficiënt
•    Maak een tabel met de coördinaten van 2 punten

Bij de volgende situaties moet je een lineaire formule kunnen opstellen
•    De formule volgt uit de tekst
•    Uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en de rico af te lezen
•    Een punt en de rico zijn gegeven
•    De coördinaten van twee punten zijn gegeven

1.2    Een lijn door 2 gegeven punten

Van de lijn door de punten A en B is de rico ∆y/∆x = YB - YA / XB - XA = rico

Als N een lineaire functie van t is, dan is N= at+b  met  a= ∆N/∆t

1.3    Kwadratische verbanden

De algemene formule van een kwadratisch verband is y= ax2 + bx + c   met a ≠ 0
Voor a > 0 is de grafiek een dalparabool
Voor a < 0 is de grafiek een bergparabool

Als de grafiek in de GR is gezet kan de tabel kan afgelezen worden in TABLE

Bij een schets hoeft er geen tabel gemaakt te worden

Bij de functie f komen de haakjesnotatie f(x)= 2x2 -4 en de formule y =2x2 -4 op hetzelfde neer.

Een x-waarde waarvoor de f(x) = 0 heet een nulpunt van f
Nulpunten zijn te vinden door op de GR de optie ZERO te gebruiken
Op de GR bereken je de coördinaten van de toppen met de opties MINIMUM en MAXIMUM,
en de coördinaten van snijpunten dmv. INTERSECT

Noteer altijd wat je doet met je GR

1.4    Kwadratische formules opstellen

Zijn van de formule y=ax2 + bx + c twee van de getallen a, b en c bekend en moet je het derde getal berekenen, dan moet een punt van de grafiek gegeven zijn.

Een formule van de parabool met de top (p,q) is van de vorm y = a (x - p)2 + q
Zijn van een parabool de coördinaten van de top en een ander punt gegeven, dan is met behulp van de vorm y = a (x - p)2 +q een formule van de parabool op te stellen.
Bv. als de top (3,5) is dan is y= a (x - 3)2 -5
Met als punt gegeven (-1,3) word het     
a (-1 -3)2-5 =3
16a -5 =3
a = 0,5

1.5    Wiskundige modellen

De tweede coördinaat van een hoogste punt van een grafiek van een functie is een maximum van de functie. Bij een laagste punt hoort een minimum.

Maxima en minima heten uiterste waarden of extremen

Een formule die een vereenvoudigde weergave van de werkelijkheid geeft is een wiskundig model.

Wiskunde Hoofdstuk 2 Oppervlakte en Inhoud

2.1    Oppervlakte van vlakke figuren

Bij het berekenen van de oppervlakte van een vlakke figuur moet je de figuur soms opsplitsen en soms aanvullen met stukken tot basisfiguren.

Voor de basisfiguren driehoek, parallellogram en cirkel zijn er de volgende formules Odriehoek = ½ bh,   Oparallellogram = bh  en Ocirkel = πr2
Een trapezium heeft de formule Otrapezium = ½ (a + b ) h   hierbij zijn a en b de lengten van de evenwijdige zijden en is h de hoogte van het trapezium.

Bij het berekenen van de oppervlakte van een regelmatige n-hoek verdeel je de figuur in n gelijkbenige driehoeken en gebruik je goniometrische verhoudingen.

Zijn van de driehoek ABC de zijden b en c en hoek A gegeven, dan kun je de oppervlakte van deze driehoek berekenen met de formule Odriehoek = ½ bc sin <A

2.2    Uitslagen

Een prisma is een lichaam dat word begrens door twee evenwijdige zijvlakken. De overige zijvlakken zijn rechthoeken.

Een piramide is een lichaam waarvan alle hoekpunten op één na in hetzelfde vlak liggen. Dat vlak heet het grondvlak, dat ene punt heet de top.

Een uitslag van een lichaam is een vlakke figuur die ontstaat als je het lichaam openknipt. Knip bij prisma’s en piramides langs de ribben en zorg ervoor dat er geen losse stukken ontstaan.

De uitslag van een cilindermantel is een rechthoek met de zijden h en 2 πr. Hierbij is h de hoogte van de cilinder en r de straal van de grondcirkel.

De uitslag van een kegelmantel is een cirkelsector waarvan de lengte van de boog gelijk is aan de omtrek van de grondcirkel van de kegel.

Een kortste route over een lichaam kun je in een geschikt gekozen uitslag tekenen als een rechte lijn. De lengte van deze route bereken je met de stelling van Pythagoras.

2.3    Oppervlakte van ruimtefiguren

Voor de oppervlakte van een cilindermantel geldt Ocilindermantel = 2 πh  hierin is r de straal.
Voor de oppervlakte van een kegelmantel geldt Okegelmantel = πrR  hierin is r de straal van de grondcirkel en R de straal van de cirkelsector die uitslag is van de kegelmantel.

Bij het berekenen van de oppervlakte van een afgeknot lichaam maak je meestal gebruik van de oppervlakte van het niet afgeknotte lichaam.

Voor de oppervlakte van een bol geldt Obol = 4πr2   hierin is r de straal van de bol.

2.4    Inhoud van ruimte figuren

De inhoud van een prisma en van een cilinder bereken je met de formule I = Gh
De inhoud van een kegel en van een piramide bereken je met de formule I = ⅓ Gh
De inhoud van een bol bereken je met de formule I = 4⁄3  πr3

Wiskunde Hoofdstuk 3 Vergelijkingen en Ongelijkheden

3.1    Kwadratische vergelijkingen

Algebraïsch oplossen van een vergelijking betekent dat je de vergelijking stap voor stap oplost.

Het berekenen van de exacte oplossingen van een vergelijking betekent dat je algebraïsch te werk gaat en de oplossingen niet benadert.

Bij het algebraïsch oplossen van kwadratische vergelijkingen krijg je te maken met de volgende gevallen:
-Het type x2 = getal
-Ontbind in factoren en gebruik AB = 0 geeft A = 0 v B = 0
-Gebruik de abc-formule: ax2 + bx + c = 0 geeft x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

3.2    Hogeregraadsvergelijkingen

De vijfdemachtswortel x= √(5&-17) is de exacte oplossing van de vijfdegraadsvergelijking
x5 = -17

De zesdegraadsvergelijking x6 = 43 heeft 2 exacte oplossingen x=√(6&43) en x= -√(6&43)

Bij een oneven n heeft de vergelijking xn = p precies een oplossing namelijk x = √(n&p)
Bij een even n en p > 0 heeft de vergelijking xn = p twee oplossingen, namelijk
x = √(n&p) en  x = - √(n&p)
Bij een even n en p < 0 heeft de vergelijking geen oplossingen

3.3    Vergelijkingen grafisch-numeriek oplossen

Grafisch-numeriek oplossen betekent oplossen dmv. de GR
Voer het linkerlid van de vergelijking in bij Y1 en het rechterlid bij Y2
Noteer welke opties je gebruikt
Geef alles oplossingen in het gevraagde aantal decimalen of rond zelf verstandig af

3.4    Ongelijkheden oplossen

Lineaire ongelijkheden moet je zonder grafieken kunnen oplossen

Bij het oplossen van de niet-lineaire ongelijkheden schets je de grafieken van linker- en rechterlid en bereken je de x-coördinaten van snijpunten.

Bij het algebraïsch oplossen van ongelijkheden bereken je de x-coördinaten van de snijpunten van de grafiek langs algebraïsche weg.

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) < g(x) kijk je waar der grafiek van f onder die van g ligt.

Wiskunde Hoofdstuk 4 Veranderingen

4.1    Stijgen, dalen en intervallen

Een interval is een deel van de getallenlijn
Er zijn open intervallen, zoals <1,3> en gesloten intervallen zoals [-2,4]. De grenzen -2 en 4 horen erbij.

In plaats van de grafiek is stijgend voor x tussen 1 en 3 zeggen we de grafiek is stijgend op interval <1,3>.

Er zijn verschillende soorten van stijgen en dalen: constant, toenemend en afnemend.

4.2    Toenamediagrammen

Een toenamediagram bestaat uit een aantal verticale lijstukjes die veranderingen aangeven. De lijnstukjes worden steeds bij de rechtergrens van het interval getekend.

Om bij een gegeven grafiek een toenamediagram te tekenen, maak je eerst een tabel met ∆y. Daarna zet je bij elke rechtergrens van het interval een lijnstukje met de lengte ∆y uit. Is deze negatief, dan zet je het lijnstukjes onder de x-as.

Bij een gegeven toenamediagram kun je een globale grafiek tekenen.

Om bij een gegeven formule een toenamediagram te tekenen, voer je de formule in op je GR en maak je de tabel met x en y. Berekenen hierbij telkens ∆y en maak daarna een toenamediagram.

4.3    Differentiequotiënten en snelheden

Bij een gegeven tijd-afstand grafiek bereken je de gemiddelde snelheid door op het tijdsinterval de toename van de afstand te delen door de toename van de tijd, dus gemiddelde snelheid = ∆s/∆t

De gemiddelde verandering van N per tijdseenheid is ∆N/∆t

Een differentiequotiënt is een gemiddelde verandering.
Het differentiequotiënt van y op het interval [xa, xb] is
De richtingscoëfficiënt (helling) van de lijn AB
Δy/Δx = (Yb-Ya)/(Xb-Xa)
Het differentiecoëfficiënt van f(x) op het interval [a,b] is gelijk aan Δy/Δx = (f(b)-f(a))/(b-a)

Bij een tijd-afstand grafiek benader je de snelheid op het tijdstip t = a met het differentiecoëfficiënt op het interval [a,a + ∆t]. Je neemt bijvoorbeeld ∆t = 0,001.

4.4    Raaklijnen

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rico van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt.

Bij een gegeven tijd-afstand grafiek krijg je een schatting van de snelheid op t = a door zo nauwkeurig mogelijk een raaklijn in het punt met t = a te tekenen en bij deze raaklijn vervolgens geschikte ∆t en ∆s af te lezen. Daarna bereken je de rico van de raaklijn. Hiermee heb je een schatting van de snelheid gekregen.

Voor de rico van de raaklijn in het punt A bestaat de notatie [dy/dx]x= xA
Dit kun je doen door een optie op je GR.

Bij een gegeven formule stel je als volgt de vergelijking op van de raaklijn k: y= ax +b in het punt A met x = xA:
-Voer de formule in op de GR
-Bereken a met de optie dy/dx
-Bereken de coördinaat van A en gebruik de coördinaten van A om b te berekenen.