Benodigde formules en technieken CE

Vocabulair

Algebraïsch

• stap voor stap;
• zonder GR-functies;
• tussen- en eindantwoorden mogen benaderd worden genoteerd (wel doorrekenen met exacte antwoorden).

Exact

• stap voor stap;
• zonder GR-functies;
• antwoorden mogen niet worden benaderd.

Aantonen

• GR-functies zijn toegestaan;
• controle a.d.h.v. een aantal voorbeelden is onvoldoende.

Bewijzen:=

• zonder GR-functies;
• controle a.d.h.v. een aantal voorbeelden is onvoldoende.

Algemeen

Transformaties
T(o,a) --> f(x) + a
T(b,o) --> f(x – b)
Verm. x-as, c --> f(x) * c
Verm. y-as, d --> f(1/d * x)

Limieten en asymptoten
Rechterlimiet: lim x↓a f(x)

Linkerlimiet : lim x↑a f(x)

Horizontale asymptoot:
y = a als lim x→∞ f( x) = a  of als: lim x→-∞ f( x) = a .

Verticale asymptoot:
noemer = 0 en teller ≠ 0.

Scheve asymptoot:
macht teller is één hoger dan macht noemer à staartdeling om tot s.a. te komen.

Kromme door toppen

1. f_p'(x) =0  --> p uitdrukken in x;
2. P invullen in f_p(x);
3. (evt: x _top =- b/2a (p uitdrukken in x_top en invullen in f_p(x).)

Logaritmen

log (a) + log (b) = log (ab)
log (a) - log (b) = log (a/b)
n*log (a) = log (aⁿ)
^glog (a) = ln (a) / ln (g)

e^ln(a) = a
ln(e^a) = a
^1/glog(a) = -^glog(a)
^glog(x) = ^alog(x) / ^alog(g)

Symmetrie

Lijnsymmetrisch in x = a als: f(a - p) = f(a + p) voor elke p.
Puntsymmetrisch in (a, b) als: f(a - p) + f(a + p) =2b voor elke p.

Differentiëren en primitiveren

f(x) = xⁿ
f '(x) =n*x^n-1
F(x) = 1/(n+1)*xⁿ⁺¹ +c

g(x) = e^x
g'(x) = e^x
G(x) = e^x +c

h(x) = g^ax
h'(x) = g^ax * ln(g) * a
H(x) = g^ax* ln(g) * 1/a +c

j(x) = ln(x)
j'(x) = 1/x
J(x) =x * ln(x) - x+c

k(x) = ^glog(x)
k'(x) = 1 / (x ln(g))
K(x) = 1 / ln(g) * (x ln(x) - x) +c

l(x) = sin (ax+b)
l'(x) = a * cos (ax+b)
L(x) = -1/a * cos (ax+b) +c

m(x) = cos (ax+b)
m'(x) = -a sin (ax+b )
M(x) = 1/a * sin (ax+b) +c

n(x) = tan(x)
n'(x) = 1 / cos²(x) en: n'(x) =1+ tan²(x)

Bijzondere gevallen

f(x) = 1/x geeft: F(x) = ln(x) + c

g(x) = (sin(x))² geeft: g'(x) = 2sin(x)cos(x)

Somregel
s(x) =f(x) + g(x)
s'(x) = f'(x) + g'(x)

Productregel
p(x) = f(x) * g(x)
p'x = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x) 

Quotiëntregel
q(x) = t(x) / n(x) 
q'(x) = (n(x) * t'(x) - t(x) * n'(x)) / (n(x))²

Kettingregel
f(x) = u(v(x))
f'x = u'(v(x)) * v'(x)

Lengte, oppervlakte en inhoud

lengte grafiek = zie bijlage.

O(V) = zie bijlage.

I(L) = zie bijlage.

Goniometrie

Eenheidscirkel

Goniometrische formules
sin(-A) = -sin(A)
-sin(A) = sin(A+π)
sin(A) = cos(A - 1/2 π)
sin²(A) + cos²(A) = 1

cos(-A) = cos(A) 
-cos(A) = cos(A+π)
cos(A) = sin(A+1/2 π)

tan(A) = sin(A)/cos(A)

Som- en verschilformules (gegeven op CE)
sin(t+u) = sin(t) * cos(u) + cos(t) * sin(u)
sin(t-u) = sin(t) * cos(u) - cos(t) * sin(u)
cos(t+u) = cos(t) * cos(u) - sin(t) * sin(u)
cos(t-u) = cos(t) * cos(u) + sin(t) * sin(u)

Verdubbelingsformules (gegeven op CE)
sin(2A) = 2sin(A)cos(A)
cos(2A) = cos²(A) - sin²(A) 
cos(2A) = 2cos²(A) - 1 → cos²(A) = 1/2 + 1/2cos(2A)
cos(2A) = 1 - 2 sin²(A) → sin²(A) = 1/2 - 1/2 cos(2A)

Trillingen
Harmonische trilling:
u = a + bsin(c(t-d))
a = evenwichtsstand
|b| = amplitude
2π/c = periode
(d, a) = beginpunt

Meetkunde
(Co)sinusregel
ZIE BIJLAGE VOOR AFBEELDING
Sinusregel
a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ)

Gebruik sinusregel:

• Als één zijde met overstaande hoek gegeven zijn.

Cosinusregel:
a² = b² + c² - 2bc * cos(α)
b² = a² + c² - 2ac * cos(β)
c² = b² + c² - 2ab * cos(γ)

Gebruik cosinusregel:

• Als twee zijden en ingesloten hoek gegeven zijn.
  --> berekening overige zijde.
• Als drie zijden gegeven zijn.
  --> berekening hoek.

Oppervlakte
ZIE BIJLAGE VOOR AFBEELDINGEN

O(driehoek) = 1/2 * b * h
O(parallellogram) = b * h
O(trapezium) = 1/2 * (a+b) * h
O(cirkel) = π * r²

ZIE BIJLAGE VOOR AFBEELDING
AB = b
sin ∠A = h * AC
Dus:  O(ΔABC) = 1/2 * AB * AC * sin (∠A)

Inhoud
inhoud cilinder = πr² * h
inhoud kegel = 1/3 * πr² * h = 1/3 * inhoud cilinder

Vectoren
Zie bijlage.

Hoek tussen lijnen
Hoek tussen lijnen k en l met vectoren: zie bijlage.

Hoek tussen lijnen k en l:

rc_k = tan(α) ∧ -90° < α ≤ 90°
rc_l = tan(β) ∧ -90° < β ≤ 90°
∠(k, l) = α - β als α > β ∧ α - β ≤ 90°
∠(k, l) = 180° - (α - β) als α > β ∧ α - β > 90°

Afstand
Tussen lijn en punt
Als: M (x,y) en l: ax + by = c, dan:
d(M, l) = |ax + by - c| / √(a² + b²)

Tussen twee punten
d(A, B) = (x_B - x_A )² + (y_B - y_A)²

Banen
ZIE BIJLAGE VOOR DUIDELIJKERE NOTATIE

Baansnelheid = |v(t)| = √((x'(t))² + (y'(t))²) 
Snelheidsvector = v(t) = r'(t) = (x'(t), y'(t))
Versnellingsvector = a(t) = v'(t) = r"(t) = zie bijlage 
Baanversnelling= a_b(t) = v(t)*a(t) / |v(t)|Cirkels
Cirkel met M (a, b) en straal r geeft: 
x = a + r*cos(t)
y = b + r*sin(t) ∧ 0 ≤ t ≤ 2π
En:
c: (x-a)² + (y-b)² = r²

Cirkels en raaklijnen

1. Stel raaklijn k op als is gegeven:
   - Vergelijking van c;
   - Raakpunt A van k op c.

Aanpak:
1) Bereken rc_l door M en A;
2) k staat loodrecht op l, dus: rc_k * rc_l = -1  --> rc_k
3) A en rc_k invullen in k geeft k.

1. Stel vergelijking van cirkel c op als is gegeven:
   - Raaklijn l;
   - Middelpunt van c.

Aanpak:
d(M, l) = r

1. Stel raaklijn m op als is gegeven:
   - Vergelijking van c;
   - Punt buiten c.

Aanpak:
1) b als functie van a substitueren in m;
2) d(M, m) = r

1. Stel raaklijn n op als is gegeven:
   - Vergelijking van c;
   - Richtingscoëfficiënt van n.

Aanpak:
1) n: ax - y = b
2) d(M, n) = r

Zwaartepunt

Hefboomwet: m₁ *x = m₂ * y
Momentstelling: (m₁ + m₂₎*z = m₁*x₁ + m₂*x₂

z = 1/M * (m₁*a₁ + m₂*a₂ + … + m_n*a_n
M = m₁ + m₂ + … + m_n