Pythagoras

Wie was Pythagoras?

Pythagoras was een Griekse wijsgeer die rond 575 voor Christus leefde. Zijn vader was koopman in een andere stad. Volgens een legende bracht zijn vader graan naar de stad Samos toen daar hongersnood heerste hierdoor het burgerrecht verkreeg. Pythagoras moeder was Pythais uit Samos. Waarschijnlijk had hij twee of drie broers maar hier is niet veel overbekend. In zijn jeugd kreeg Pythagoras een goede opleiding. Hij kreeg onder meer lessen in filosofie, lierspel en poëzie. In zijn leven heeft hij veel gereisd. Rond 530 voor Christus is Pythagoras van Samos naar Croton gereisd om daar een kolonie te stichten. Hij heeft daar toen een soort van filosofische en religieuze gemeenschap op gericht. Een van de regels die de gemeenschap had was dat ieder lid volledige trouw en geheimhouding moest zweren, hierdoor is er niet veel bekend over wat Pythagoras allemaal heeft bedacht. Wel is bekend dat de stelling van Pythagoras niet door Pythagoras is bedacht want de stelling was al bekend bij de Babyloniërs die ongeveer 2000 jaar voor Christus leefden. De gemeenschap had een hoop tegenstanders, hierdoor moest Pythagoras vluchten uit Croton. Enkelen tientallen jaren later kwam er een opstand tegen alle volgelingen van het geloof.

Wat is de stelling van Pythagoras?

De stelling van Pythagoras is een formule waarmee je de lengte van de schuine zijde in een driehoek kan berekenen. Er zijn slechts twee voorwaarde: - De driehoek moet recht een rechte hoek hebben. - Je moet de lengte van twee van de zijden al weten. De stelling van Pythagoras zegt dat als je het kwadraat van de twee rechte zijden bij elkaar optelt je het kwadraat van de schuine zijde krijgt. De formule is a2 + b2 = c2 hierin zijn a en b de rechte zijden en is c de schuine zijde. Ik zal nu laten zien hoe je de formule kan gebruiken door een voorbeeld te geven.

Voorbeeld: We teken een driehoek waarvan zijde a 4 centimeter is en zijde b 3 centimeter is en de lengte van zijde c is gevraagd. Nu zegt de stelling van Pythagoras dat deze te berekend is door het kwadraat van de zijden te nemen. Dus:

42 = 16
32 = 9
16 + 9 = 25

Nu heb je het kwadraat van de schuine zijde. Je kan dan de zijde berekenen door de wortel van dit getal te nemen.

√25 = 5

De lengte van de schuine zijde is dus 5.

Je kan zo de stelling van Pythagoras bij iedere recht hoekige driehoek gebruiken waar je twee zijdes van weet. Bewijzen voor de stelling van Pythagoras

1e bewijs:

Dit is een redelijk simpel bewijs de stelling van pythagoras is er op gebaseerd dat als je een drie hoek tekent een aan alle zijde van de driehoek een vierkant dat de oppervlakte van de twee kleinste vierkanten even groot zijn als de oppervlakte van het grote vierkant.

Berekening:

Oppervlakte a + oppervlakte b = Oppervlakte c

De oppervlakte van vierkant a is (omdat het een vierkant is waarvan alle zijde even groot zijn) a x a = a2

Dit geldt ook voor vierkant b en c dus dan krijg je de formule: a2 + b2 = c2

2e bewijs:

Dit bewijs lijkt heel erg op het vorige bewijs alleen hier worden in plaats van vierkanten op de zijkanten van de driehoek zijn er dit keer halve cirkels op de zijkanten van de driehoek geplaatst. Hier is nog steeds dat de oppervlakte van de twee kleine cirkels even groot is als de oppervlakte van de grote cirkel.

Berekening:

Formule voor de oppervlakte van een cirkel: πr2

π(½a)2 + π(½b)2 = π(½c)2 ½a2 + ½b2 = ½c2
a2 + b2 = c2

3e Bewijs:

We beginnen hier weer met een standaard driehoek ABC. We maken nu nog een rechthoekige driehoek met een rechte hoek in punt C en waarvan de schuine zijde precies in twee wordt ge deelt door punt A. zo ontstaat de driehoek DCE waarbij hoek C = 90o en zijde DE is 2B. Nu zijn de driehoeken DBC en EBC gelijkvormig.

Berekening

Dus

BC/BE = BD/BC

oftewel

a/(c + b) = (c - b)/a

a2 = c2 - b2

a2 + b2 = c2

4e bewijs:

Dit bewijs lijkt heel erg op het eerste bewijs alleen hier beginnen we met twee driehoek die samen een rechthoek vormen. In een van de driehoeken is een cirkel getekend. Toen zijn er lijnen getekend die naar alle zijden van de driehoek gaan (zie figuur) ook zijn er lijnen getekend naar de twee verste hoeken. Als je nu de cirkel weg haalt en de figuren anders rangschikt zodat de losse driehoekjes weer rechthoeken vormen. Nu heb je nog drie vierhoeken (1, 2 en 3) over die samen even groot zijn als de oorspronkelijke driehoek en je heb een rechthoek (4) die even groot is als een volledige driehoek omdat de zijden van de rechthoek niet zijn veranderd. We nemen nu weer de driehoek van de eerste figuur en nu tekenen we aan de zijkanten van driehoek a een drie hoek met de zijde r en een vierkant me zijden (a - r) . We doen nu het zelfde met zijde B alleen dan nemen we een vierkant met zijden (b – r) in plaats van een vierkant (a – r). Als we nu op zijde c ook twee vierkanten tekenen een met zijde (b – r) en een met zijden (a – r) zie je dat de hele figuur is bedekt met vierkanten (zie figuur volgende pagina). Als we nu ook nog op alle zijde een zo groot mogelijk vierkant plaatsen houden we nog een aantal stukken over deze stukken zijn in vierkant a op te vullen met twee stukken van (a - r) x r en in vierkant b zijn de gaten op te lossen door twee stukken van (b - r) x r. Nu blijven alleen nog het stuk in vierkant c over. Het blijkt dat dit stuk precies twee keer zo groot is als de oorspronkelijke driehoek.

Berekening

Eerst maken we een vergelijking van de vierkanten
b2 = r(b – r) x 2 + r2 + (b – r)2
a2 = r(a – r) x 2 + r2 + (a - r) 2
c2 = 2 x (a - r)x(b – r) + (b – r)2 +(a - r) 2

als we nu de vergelijkingen samen voegen tot een vergelijking dan krijgen we:

r(a – r)x2 + r(b – r) x 2 + (b – r)2 + (a - r) 2+ 2r2= 2x(a - r)x(b – r) + (b – r)2 +(a - r) 2

als we deze formule vereenvoudigen krijgen we:

r(a – r) x 2 + r(b – r) x 2 + 2r2= 2 x (a - r) x (b – r)

Dat deze laatste formule zo was hebben we al kunnen zien in de twee de figuur van dit bewijs en daarom geld dus ook dat a2+ b2 gelijk is aan c2.

5e bewijs:

in dit bewijs beginnen we met 4 vierkanten die we alle maal een kwart slag hebben gedraaid.

Als je deze tegen elkaar zet zodat de schuine zijde steeds naar buiten wijzen dan krijg je een vierkant met de oppervlakte c2. in het vierkant zit een gat met oppervlakte (a-b)2. De iedere driehoek heeft een oppervlakte van ab/2 je heb vier van deze driehoeken gebruikt dus de totale oppervlakt van de vier driehoeken is: 4x ab /2 = 2ab

Berekening: c2 = (a-b)2+ 2ab
c2 = (a-b)(a-b) + 2ab
c2 = a2 – ab + b2 –ab + 2ab
c2 =a2 + b2 –2ab +2ab
c2 = a2 + b2

6e bewijs:

Wij beginnen met twee vierkanten. Het totale gebied van de naast elkaar geplaatste vierkanten met kanten a en b. De totale figuur heeft een oppervlakte van a2 + b2.

In de figuur teken we twee even grote driehoeken. Met zijden a b de schuine zijde noemen we c.

Uit eindelijk draaien we de driehoeken zodat de schuine zijdes buiten komen oppervlakte van het vierkant is nu c2 is maar het figuur is nog steeds even groot als het originele figuur.

7e bewijs:

dit bewijs lijkt erg op het vorige alleen nu leggen we de driehoeken andersom tegen elkaar aan. De zijkant van het grote vierkant is nu a + b dan kom je dus op een oppervlakte van (a+b)2 en de oppervlakte van het middelste vierkant is nu c2.

Berekening: (a+b)2= c2 +2ab (a-b)(a-b) = c2 +2ab
a2 + b2 +2ab = c2 +2ab
a2 + b2 = c2

8e bewijs:

Deze lijkt heel erg op het vorige alleen hier de figuur in tweeën gehakt. Hiermee kan je de stelling van pythagoras bewijzen dood de oppervlakte van de drie driehoeken te bereken: ab/2 + ab/2 + cc/2 = Dit moet gelijk zijn aan de oppervlakte van het hele trapezium deze kan je berekenen door de gemiddelde basis te nemen en die te vermenigvuldigen met de hoogte dus (a+b)/2 x (a+b) =(a+b)2/2

Berekening: (a+b)2/2 = ab/2 + ab/2 + cc/2 (a+b) 2 =2ab + c2
2ab + a2 + b2 =2ab + c2
a2 + b2 = c2

9e bewijs:

dit bewijs lijkt heel erg op nummer 7 bewijs alleen hier zijn de driehoeken anders gerangschikt. De berekening blijft nog steeds het zelfde.

10e bewijs:

We beginnen hier met een gewone driehoek ABC . In de driehoek tekenen we een loodlijn het punt onderaan deze lijn noemen we punt D. Op deze manier krijg je eigenlijk drie driehoeken namelijk driehoek ABC, ABD en ADC. Met deze informatie kan je twee vergelijkingen maken namelijk:

Berekening
AB/BC = BD/AB en AC/BC = DC/AC

Oftewel: AB x AB = BD x BC en AC x AC = DC x BC

Als we dan lijn AC a noemen, lijn AB b noemen, lijn BC c noemen krijgen we: b x b = BD x c en a x a = DC x c

als je dit samen voegt kom je op: b x b + a x a = BD · c + DC · c = (BD+DC) x c = c x c

11e bewijs:

Dit bewijs lijkt een beetje op bewijs nummer 5 want we beginnen hier ook met een vierkant met zijden die even lang zijn als c en in het midden een vierkantje met zijden a. Alleen daarna zetten we de driehoek in het kleine vierkant zodat zijde a op een van de zijde van de driehoek ligt en zijde b gedeeltelijk op een andere zijde ligt. Dan teken we op de zijde van b vierkant dat we in vieren delen zodat we een driehoek krijgen (zie rode deel afbeelding). Daarna kopiëren we die driehoek vier keer en leggen ze zo dat ze allemaal op een zijde van de kleine driehoek liggen. Het stuk dat uit het grote vierkant steekt is precies even groot als het stuk dat er over is aan de binnenkant van het de grote driehoek nog over is (zie groene deel afbeelding). Nu kunnen we makkelijk de oppervlakte van het grote vierkant bereken door de oppervlakte van het kleine vierkant en de oppervlaktes van de driehoeken op te tellen.

Berekening: Oppervlakte kleine vierkant = a x a = a2
Oppervlakte van de vier driehoeken = 4 x (b2 /4) = b2
Oppervlakte van het grote vierkant = c x c = c2

12e bewijs:

bij dit bewijs lijkt het begin een beetje op het aller eerste bewijs want we beginnen ook met vierkantjes met op de zijkanten van de driehoek te zetten (zie figuur). Allen in dit bewijs zeggen we dat de vierhoeken ABHI, JHBC, ADGC en EDGF allemaal even groot zijn. Om dit te bewijzen toon ik eerst aan dat de lijnen DG en BH de zeshoeken precies in tweeën delen, dit is bij de lijn DG makkelijk te zien omdat hij de precies door punt B gaat. Bij de andere lijn doen je dit door aan te tonen dat de lijn door het midden van het vierkant ACJI gaat. Nu zie je als ADGC en EDGF samen voegt en ABHI en JHBC samenvoegt je als nog twee even grote figuren overhoud. Als je dan uit beide figuren de twee driehoeken haalt hou je bij de ene figuur een vierkant met zijden c over en bij de andere figuur twee vierkanten, een met zijde a en een met zijde b over.

De boom van Pythagoras.

De boom van Pythagoras is in de jaren ontdekt door Albert Bosman. Dit was een electrotechnisch ingenieur die door de duitsers aan het werk was gezet om onderdelen voor duikboten te ontwerpen. Hij wou weten wat er zou gebeuren als je steeds een vierkant en een driehoek neemt en dan op de zijkanten van de driehoek een nieuw vierkant en driehoek zou teken. Toen hij klaar was vielen hem een aantal dingen op. Ten eerste viel hem op dat het figuur bijna een acht hoek is. Daarna viel hem op dat de figuur bijna vier keer zo hoog is en bijna zes keer zo breed. Dit is te verklaren door middel van een wiskundige formule:

Voor de hoogte: Als je begint met een vierkant met hoogte 1 dan is de hoogte van het tweede vierkant ook 1 want dit vierkant staat schuin. Van het derde vierkant is dan de hoogte ½ deze reeks kan je door trekken zovaak je maar wil: 1 + 1 + ½ + ½ + ¼ + ¼ + … Als je alle getallen in de reeks bij elkaar optelt kom je uiteindelijk op 4 uit.

Voor de breedte: Voor de breedte kan je het zelfde doen als voor de hoogte alleen hier moet je ieder getal drie herhalen. En kom je uit eindelijk op 6 uit.

De rede dat de figuur van bosman niet in totaal 4 zo hoog en 6 keer zo breed werd was omdat hij niet ver genoeg door kon teken.