Cijferkunst

Inleiding

Voor ons profielwerkstuk hadden we eerst besloten om een enquête te houden over een stelling die in een jongeren tijdschrift stond, maar volgens u zou dat niet genoeg geweest zijn voor een profielwerkstuk . Dus hebben we daarop besloten om het te gebruiken voor de praktische opdracht, die we voor wiskunde moesten maken. En na lang nadenken zijn we erop gekomen om een aantal wiskundige onderwerpen met de ontdekkers erbij te gaan behandelen. Op dit idee zijn we gekomen met behulp van een kennis van ons, hij had ons dit idee gegeven. De wiskundige onderwerpen die we willen onderzoeken zijn de volgende wiskundige onderwerpen : Fibonacci met zijn getallenreeks, Blaise Pascal met zijn driehoek (ook wel de driehoek van Pascal genoemd) en als laatste willen we ook nog de Gulden Snede onderzoeken. Voor de Gulden Snede konden we geen ontdekker vinden, maar wel is bekend dat de Gulden Snede vaak door de Grieken is toegepast in gebouwen/tempels. En ook is het vaak gebruikt in de schilderkunst. Omdat deze wiskundige onderwerpen voor ons ook nog absoluut onbekend zijn, zijn we best benieuwd naar wat we zullen ontdekken.
Volgens de informatie die we tot nu toe hebben verzameld zijn het echt moeilijke onderwerpen.
En juist dat geeft ons de wil/kick om het voor elkaar te krijgen en te begrijpen. De personen die deze dingen hadden ontdekt leken ons ook interessant, en daarom hebben we besloten om een biografie van deze personen erbij te zetten. Ik zal u kort beschrijven hoe we het willen aanpakken.
Zoals u het boven ook kon zien hebben we de onderwerpen al. Dat zijn de volgende onderwerpen: de getallen reeks van Fibonacci, de driehoek van Pascal en de Gulden Snede. We willen van alle drie de onderwerpen ook de ontdekkers weten en willen vervolgens de biografieën van de wiskundigen geven. Dat willen we doen in de vorm van een korte samenvatting over wie ze waren en waar ze zijn geboren etc. etc. Als tweede punt willen we bij ieder onderwerp weten wat ze hebben ontdekt (de theorie). Dit tweede onderwerp kan soms ook al in de biografie van de ontdekker zitten.
Als het er al in zit willen we het toch opnieuw weergeven omdat dat overzichtelijker en duidelijker zal zijn. En als laatste punt willen we de theorie toepassen. De theorie willen we weergeven met een aantal voorbeelden. We hopen dat dit profielwerkstuk nuttig voor ons zal zijn en dat het ook gaat helpen om onze kennis over de wiskundige onderwerpen en de ontdekkers ervan te vergroten.

De driehoek van Pascal

Wie was de ontdekker?
Over Pascal
De driehoek van Pascal is niet zoals de naam het zegt door Pascal ontdekt. De driehoek bestond al lang bij de Chinezen, Blaise Pascal was degene die het in Europa invoerde. En de driehoek kreeg zijn naam als dank aan zijn grote bijdrage voor het kansrekenen. Pascal was zijn achternaam, zijn voornaam was Blaise. Blaise Pascal was het derde kind (enige zoon) van Etienne Pascal (de vader) en Antoinette Begon (de moeder). Ze waren beiden afkomstig uit een gegoede familie. Blaise Pascal werd geboren in Auvergne op 19 juni 1623. Etienne Pascal was een belastingambtenaar die grote interesses in wiskunde had. Drie jaar na de geboorte van Blaise Pascal, overleed in 1626 de moeder van Blaise Pascal en een aantal jaren na het overlijden van de moeder (Antoinette Begon) verhuisde Blaise met zijn vader en zijn drie zusters naar Parijs. De vader van Blaise Pascal nam zelf de opvoeding van zijn kinderen ter hand. Omdat de vader van Blaise Pascal dacht dat vroegtijdige kennismaking met wiskunde, het Latijn van zijn zoon zou schaden en verbood hij wiskunde voor zijn zoon. Ondanks het verbod van zijn vader begon Blaise Pascal zich op 11-jarige leeftijd te verdiepen in de Elementen van Euclides* (toelichting over de personen met * achterin). De Elementen van Euclides waren boeken die uit 13 delen bestonden. In de eerste 6 (Boek I tot en met VI) boeken wordt de planimetrie besproken. In Boek VII-IX wordt de rekenkunde ontwikkeld. Boek X gaat over rationele getallen. De boeken XI-XIII zijn gewijd aan de stereometrie. Toen zijn vader ontdekte dat hij zich met Euclidische wiskunde bezighield zag hij in hoe intelligent zijn zoon werkelijk was en stond hem toe zich verder te verdiepen in de wiskunde. Blaise ontdekte al op 12-jarig leeftijd dat de som van de hoeken van een driehoek gelijk is aan twee rechte hoeken. Hoe Pascal dit bewees kan niet worden aangetoond, omdat het werk zeer waarschijnlijk kwijt is geraakt. Vanaf zijn veertiende ging Blaise Pascal met zijn vader mee naar de bijeenkomsten van de academie van Mersenne, waar hij Fermat*, Roberval en Desargues leert kennen.

In 1639 ging de familie weer verhuizen, dit keer was de bestemming Rouen. Daar werd vader Etienne belastinginner van Normandie. Een korte tijd daarna publiceerde Blaise Pascal zijn eerste werk: Essai pour les Coniques, het werk ging over kegelsneden.

In 1642 vond Blaise Pascal de Pascaline uit. Dit was de eerste rekenmachine.
Hij bedacht de Pascaline als hulpmiddel bij het rekenwerk van zijn vader omdat hij zijn vader veel zag rekenen. Met de Pascaline kon je alleen optellen en aftrekken.
De werking van de Pascaline was zeer simpel, je moest de nummers draaien door middel van de metalen wielen die op de Pascaline zaten. Nadat je dit had gedaan kon je de oplossing in een klein beeldschermpje, die boven op de Pascaline zat, aflezen. Hij heeft in deze uitvinding (de Pascaline) veel tijd gestopt. Pascal was zo gefixeerd op een probleem, op welk terrein dan ook, dat zijn hele leven op dat moment in teken stond van een probleem. Hij putte zich geestelijk helemaal uit. Hierdoor heeft hij gedurende zijn hele leven een slechte gezondheid gekend.
Van de Pascaline zijn er maar ongeveer 50 stuks van gemaakt, maar Blaise Pascal werd er wel beroemd door.

In 1646 kwamen Blaise en zijn vader Etienne in contact met een religieuze beweging. De vader van Blaise moest worden verpleegd vanwege een kwaal aan zijn been. Blaise Pascal ging onder invloed daarvan de geschriften van Jansenius bestuderen (een Jansenist, is iemand die de ketterse leer volgt, die vrijheid benadrukt en leert dat Jezus niet is gestorven voor iedereen). Ondertussen gaat ook zijn wetenschappelijke werk door: Blaise onderzoekt de luchtdruk in de atmosfeer en raakt er van overtuigd dat er buiten de atmosfeer een vacuüm is. Tijdens een tweedaags bezoek van Descartes* aan Pascal in September 1647 discussiëren beiden over dit thema. Later schrijft Descartes aan Huygens* dat hij het met Pascal oneens is. Volgens hem zou Pascal te veel vacuüm in zijn hoofd hebben.

In het jaar 1650 keert de familie weer terug naar Parijs. Omdat Blaise wat ziekelijk is gaat hij minder werken. Hij verkeert meer met vrienden, zoals de dichter Desbarreux en Chevalier de Mere. De laatste inspireert hem echter wel om zijn schreden te zetten op het pad van de kansrekening.

In September 1651 overlijdt de vader van Blaise Pascal. Hij schreef daarop een verhandeling over de christelijke betekenis van de dood. Dat geschrift van Pascal vormt de basis voor zijn latere Pensées. Zijn zuster Jacqueline treedt in dat zelfde jaar nog in een jansenistenklooster.

In 1653 schrijft Pascal zijn belangrijkste natuurkundige werk: “Traites des l’equilibre et de la presanteur de la massa de l’air“ , waarin de beroemde wet van Pascal staat.
De wet zegt dat de druk die op een vloeistof in een gesloten ruimte wordt uitgeoefend, door die vloeistof onverminderd naar alle delen van die vloeistof wordt doorgegeven. Hiervan wordt onder andere gebruikgemaakt bij hydraulische systemen om grote krachten te kunnen uitoefenen (bijv. in remsystemen). Natuurkundigen hebben daarom de eenheid van druk naar hem genoemd. Zo kan het weerbericht bijvoorbeeld een luchtdruk signaleren van 1024 hPa (hectoPascal)

In 1654 legt Pascal de grondslag voor de kansrekening in een correspondentie met Fermat. Deze correspondentie ging over het dobbelsteenprobleem: hoe groot is de kans dat je bij iedere worp een 6 gooit. Ondanks een zwakke gezondheid werkte hij hard aan zijn wetenschappelijke studies.

In 1654 beleeft Pascal een ongeluk waarbij hij bijna het leven verloor.
Hij schijnt een soort van visioen te hebben gehad en besluit vanaf dat moment zijn leven te wijden aan het Christendom. Hij schrijft daarop een verdediging van de jansenisten: de “Lettres escritte a un Provincial par un de ses amis“ .

In 1656 begint hij zijn filosofische werk rond het menselijke lijden en het geloof, dat hij nooit helemaal heeft kunnen afmaken. Het zijn de beroemde “Pensées“, waarin zijn beroemde verdediging van het geloof in god staat.

In 1658 schreef Pascal zijn laatste werk over een wiskundig onderwerp: de cycloïde, dat is de kromme baan van een punt op de omtrek van een rollende cirkel.

Op de afbeelding hiernaast is dit te zien. Stel het als volgt voor; zie de zwarte puntjes als een ventiel en de cirkels als een fietswiel. U ziet dan in de figuur wat voor baan een punt maakt om de omtrek van een rollende cirkel. Na dit werk hield Pascal zich nauwelijks meer bezig met de wetenschap. In 1662 kreeg Blaise Pascal een kwaadaardige gezwel in zijn maag, dat zich uitzaaide naar de hersenen van Blaise Pascal.
Blaise Pascal stierf op een pijnlijke manier, hij was slechts 39 jaar oud toen hij overleed.

De tijd van Pascal

Pascal leefde in het Frankrijk van Lodewijk XIII omstreeks 1610-1643 en het begin van de regeerperiode van Zonnekoning Lodewijk XIV omstreeks 1643-1715. Hier in Nederland kende men toen de Gouden Eeuw. Heel West-Europa maakte in die tijd een bloei door, zeker op het gebied van de wiskunde en natuurwetenschappen. Immers in die periode hebben vanuit West-Europa, grote ontdekkingstochten plaatsgevonden en is de handel ook tot grote bloei gekomen.
Dat heeft geleid tot een economische opleving en een toename van de belangstelling voor allerlei technische en wetenschappelijke zaken, onder andere stelde de toenemende scheepvaart steeds hogere eisen aan de techniek. Galilei* deed zijn natuurkundige proeven, bedacht theorieën en ontwierp de sterrenkijker. Copernicus en Kepler hadden een nieuw wereldbeeld geschapen.

Ook op het gebied van de wiskunde is er in West-Europa na eeuwen van stilstand weer wat gaande. Oresme kwam met grafieken, Vieta en Tartaglia hadden stappen gezet op het gebied van algebra.
In Parijs had de wiskundige Mersenne* een ’academie’ opgericht, waaraan in de tijd van Pascal beroemde wiskundigen als Fermat, Roberval en Desagues deelnamen. Ze werkten onder andere aan vlakke meetkunde, getaltheorie en kansrekening. In Nederland had de Vlaamse ingenieur Stevin het tientallig stelsel ingevoerd. De beroemde Franse filosoof en wiskundige Descartes verbleef een groot deel van zijn jaren in Nederland, Christiaan Huygens ontwierp er zijn natuurkundige en wiskundige theorieën.

Korte samenvatting over zijn wiskundig en natuurwetenschappelijk werk.

Pascal had op verschillende terreinen van de wiskunde werk verricht. In zijn jeugd hield Blaise Pascal zich voornamelijk bezig met de door Desargues ontdekte projectieve meetkunde. Later heeft hij een volledige theorie over kegelsneden geschreven welke gebaseerd was op een stelling, (Volgens de stelling geldt dat, als een zeshoek in een kegelsnede wordt ingeschreven, de drie punten waarin paren overstaande zijden elkaar snijden, op een rechte lijn zullen liggen. Als de punten van de zeshoek achtereenvolgens ABCDEF worden genoemd, dan zijn AB en DE overstaande zijden die elkaar in X snijden, enzovoorts. De lijn XYZ is dan de rechte van Pascal) die hij zelf op zestienjarige leeftijd ontdekt had. Ook heeft hij zich, samen met zijn tijdgenoot Fermat, beziggehouden met de beginselen van de kansberekening, de getallentheorie, de leer van de combinaties, en zijn getallendriehoek (de driehoek van Pascal). In de laatste jaren van zijn leven heeft hij zich voornamelijk beziggehouden met ronde oppervlakken, inhouden en zwaartepunten van lichamen die bij wenteling van de cycloïde of van delen daarvan ontstonden. Ook heeft hij enige jaren besteed aan het ontwikkelen van de eerste rekenmachine om het werk van zijn vader te verlichten.
Veel van zijn werk is verloren gegaan maar uit wat overbleef blijkt een algemene karaktertrek. Pascal gaat uit van een concreet probleem dat zijn belangstelling heeft. Hij ontwerpt hiervoor een oplossingsmethode die van de concrete probleemstelling uitgaat maar die toch voldoende geldigheid bezit, ook voor andere problemen in het algemeen. Het grootste bezwaar tegen zijn werkwijze is echter dat hij zijn inzichten meetkundig en niet algebraïsch formuleert.
Op het gebied van de natuurwetenschappen heeft hij zich bezig gehouden met gassen, druk, en het bestaan van het vacuüm. Ook op het gebied van de natuurwetenschappen neemt Pascal een standpunt in. Hij formuleert welke houding een natuurwetenschapper moet aannemen tegenover de klassieke oudheid. Tegenover de natuurwetenschappen stelt hij de wetenschappen die op autoriteit berusten, de theologie (goddelijke autoriteit), de geschiedenis, rechtsgeleerdheid, en geografie (menselijke autoriteit). In al deze gevallen geeft een boek volledig uitsluitsel over de eigenlijke bedoeling. De wetenschappen die van experiment en redenering uitgaan moeten worden uitgebreid om meer betrouwbaar te worden. Bij de kennis en het inzicht, dat de ouden bezaten, moeten nieuwe ervaringen toegevoegd worden. Omdat experimenten de enige beginselen van de fysica zijn, zullen er steeds meer conclusies worden getrokken naar mate er meer wordt geëxperimenteerd. Daarom kunnen inzichten nu geheel anders zijn dan die van vroeger, terwijl ze toen volkomen gerechtvaardigd waren. De mens kan zodoende gezien worden als een wezen die door de tijd heen zichzelf ontwikkelt naar mate er meer wordt geëxperimenteerd en meer conclusies komen.

Pascal’s belangrijkste werken.

Pascal’s belangrijkste werken waren :
· Op het gebied van de Wiskunde:
o “Essai pour les Coniques“ (over kegelsneden)
o “Traité du triangle arithmétique“ (over de driehoek van Pascal)
o “De briefwisseling met Fermat waarin de grondslagen van de kansrekening worden gelegd. ( De correspondentie gaat over : het probleem van de dobbelstenen.
Het probleem van de dobbelstenen bestaat uit de vraag, hoe vaak met twee dobbelstenen gegooid moet worden voordat men een dubbele zes mag verwachten.)

· De uitvinding van de Pascaline die de eerste digitale rekenmachine was.

· Op het gebied van de natuurkunde :
o “ Traite du vide“ (over de wetenschappelijke methode)
o “ Traité de l’equilibre des liquers et de la pesanteur de la masse de l’air“
(over vloeistoffen en gewicht van lucht)

Op het gebied van de Christelijke filosofie
o “Lettres escritte a un Provincial par un de ses amis“ (verdediging van de jansenisme)
o “Pensees“ (gedachten over menselijke lijden en geloof in God)

Veel van Blaise Pascal’s werken is nog op de dag van vandaag te lezen.
En van sommige van zijn werken bestaan er vertalingen in het Nederlands.
De theorie

In 1653 had Blaise Pascal de rekenkundige driehoek bedacht.
“De Driehoek Van Pascal” zoals de driehoek nu wordt genoemd.

Deze driehoek wordt wel de “De driehoek van Pascal” genoemd maar Pascal is niet de eigenlijke ontdekker van de driehoek. De driehoek was al omstreeks 1300 bekend bij de Chinezen. Blaise Pascal mocht dan niet de ontdekker zijn maar hij was wel degene die de driehoek bekend maakte. De driehoek kreeg de naam van Blaise Pascal, “de driehoek van Pascal” als waardering voor zijn grote bijdrage aan de ontwikkeling van de kansrekening.

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 3 3 1 0 0 0 0
0 0 0 1 4 6 4 1 0 0 0
0 0 0 1 5 10 10 5 1 0 0 0
0 0 1 6 15 20 15 6 1 0 0
0 0 1 7 21 35 35 21 7 1 0 0
0 1 8 28 56 70 56 28 8 1 0
0 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 0
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

De driehoek die hierboven staat telt 11 rijen. Elk getal in de driehoek is te verklaren door de twee bovenstaande getallen bij elkaar op te tellen voorbeeld: het getal 252 in de 10e rij, komt voort uit de getallen 126+126 want na het optellen van deze getallen komt er 252 uit. (126+126 = 252).
En dit principe geld voor elk getal behalve voor de buitenste rij. De buitenste rij komt voort uit rij 0.
En in plaats van de bovenste twee getallen op te tellen wordt nu alleen het bovenste getal opgeteld. Dit verklaart meteen weer waarom de buitenste rij alleen maar uit enen bestaat. Maar de driehoek is niet alleen voor optelsommetjes.

Voorbeeld: Stel dat de driehoek die hierboven is afgebeeld, een plattegrond van een stadswijk is. En dat elk getal een samenkomst van wegen voorstelt. Dus een T- splitsing of een kruising. Je kunt dan dus via elk getal door de hele wijk lopen. Als je bij de top van de driehoek (rij 0) begint met lopen dan geeft het getal waar je heen wilt het aantal mogelijkheden aan op hoeveel manieren je de kortste route kunt lopen vanaf de top (rij 0) tot aan het bepaalde getal. Dus als je naar getal 252 wilt lopen dan kan dat via de kortste route op 252 manieren. Anders gezegd: Elk getal in de driehoek van Pascal geeft het aantal routes om vanuit de top op die plaats te komen.

Wat geeft ‘De Driehoek’ aan?

Elk getal krijg je door de twee getallen die er schuin boven staan, bij elkaar op te tellen. En elk getal in de driehoek van Pascal geeft het aantal routes om vanuit de top op die plaats te komen.

De som van de rijen.

De som van de getallen in elke rij is gelijk aan 2 tot de macht n(2^n ), hier is n het nummer van de rij.

Bijvoorbeeld:

SOM VAN DE RIJEN FORMULE
Som rij 1 = 1+1 = 2 2^n= 2^1= 2
Som rij 2 = 1+2+1 = 4 2^n= 2^2= 4
Som rij 3 = 1+3+3+1 = 8 2^n= 2^3= 8
Som rij 4 = 1+4+6+4+1 = 16 2^n= 2^4= 16
Som rij 5 = 1+5+10+10+5+1 = 32 2^n= 2^5= 32

Je hebt dus niet ‘De Driehoek’ nodig om de som van de rijen te berekenen.

Je kan het ook anders weergeven. Een route in een ja-nee-rooster van bijvoorbeeld (0,0) naar (2,3) is een voorbeeld van een combinatie van 2 uit 5.
Het aantal combinaties van 2 uit 5 is :

= 5 x 4 = 10
2 x 1

De uitspraak is ‘5 boven 2 is . . . ‘
Dit aantal kun je als volgt uitdrukken in faculteiten:

= 5 x 4 x (3 x 2 x 1) = 5!__
2 x 1 x (3 x 2 x 1) 2! x 3!

Hoe de driehoek is geconstrueerd.

Buiten de Driehoek staat overal het getal nul. Op de top van de Driehoek staat de nummer 1, deze vormt de rij nul. De eerste rij is opgebouwd uit 1 en 1, deze getallen krijg je door de 1 erboven en de nul buiten de Driehoek bij elkaar op te tellen. Om de tweede rij te construeren, tel je de getallen links boven het punt in de rij en rechts boven het punt in de rij bij elkaar op.

Op deze manier kun je dus altijd doorgaan met rijen maken en wordt de Driehoek dus oneindig groot.

Wat kunnen we in deze tijd nog met ‘De Driehoek’?

Met ‘De Driehoek’ zelf wordt tegenwoordig niets nieuws meer berekend. Op school leer je
‘De Driehoek’ kennen en begrijpen, maar meestal maak je in je verdere leven geen gebruik meer van de kennis die in ‘De Driehoek’ staat. Toch is het goed om ’De Driehoek’ ooit in je leven gezien te hebben. Het is een van de weinige vondsten uit die tijd waar zoveel informatie uit een figuur af te lezen valt. Ook kun je door ‘De Driehoek’ te leren kennen je wiskundig- inzicht vergroten, juist doordat er zoveel informatie in te vinden valt. Ik persoonlijk, vind het een heel erg interessant ding.
Zoals hierboven ook staat, in zo een simpele driehoek kan je zeer veel informatie vinden.

Toepassing van de theorie.

De toepassing van de theorie willen we door middel van het maken van een aantal opgaven en het geheel ervan uit te werken laten zien.

Voordat we beginnen met de voorbeeld, opgaven willen we nog eens kort uitleggen hoe je de driehoek kan gebruiken.

HOE GEBRUIK JE DE DRIEHOEK VAN PASCAL ?
1. Stel vast wat de twee alternatieven zijn.2. Ga na hoe vaak elk van de alternatieven voorkomt.3. Maak in een rooster of in de driehoek van Pascal het aantal stappen dat daarbij hoort.4. Lees het aantal routes naar dat punt af.

VOORBEELD
Op hoeveel manieren kun je bij een test van acht vragen er zes goed hebben?I. De alternatieven zijn ’goed’ en ’fout’.II. Goed komt zes keer voor en fout komt twee keer voor.III. Zes stappen in de ene richting en twee in de andere richting.IV. Er zijn 28 manieren.=

EN NU VOLGEN ER EEN PAAR VOORBEELD OPGAVE’S

Opgave 1 : In de biologieles worden vijf experimenten gedaan.
Een experiment kan een succes (s) zijn,
maar ook mislukken (m).
Een mogelijke volgorde is SSMMS.

A: Teken een rooster waarbij horizontaal het aantal successen staat en verticaal het aantal mislukkingen.

Uitwerking :

B: Bij hoeveel verschillende volgorden is er sprake van drie
successen en twee mislukkingen?

Uitwerking : We nemen voor rechts; succes
We nemen voor boven; mislukken
Dus 3 X succes, 3 X rechts en
2 X mislukking, 2 X naar boven. (zie de groene lijnen)
Dan komen we in het rooster bij het getal 10 uit.
En dat betekent dat er 10 volgordes mogelijk zijn.

C: Hoeveel verschillende volgordes zijn er in totaal?

Uitwerking : 2^5 = 32 Aan dit antwoord kom je door de 5e rij op te tellen. Als je dit doet kom je uit op 32. (zie de blauwe lijn)

D: Met welke gebeurtenis in de biologieles correspondeert
het punt (4,1)

Uitwerking : dat er 4 succesvolle experimenten zijn en dat er 1 mislukt experiment is.

Opgave 2A: In de driehoek van Pascal staat in de 8e rij als vierde getal het
getal 56. Bij een scoreverloop betekent dit dat er 56 mogelijkheden zijn waarop de stand 5 – 3 bereikt kan worden. Leg dat uit.

Uitwerking : Het getal 56 bereik je door 5 stappen naar rechts en 3 stappen naar boven te nemen of net andersom.
En dat slaat op de score 5 – 3 (zie de turkoise lijnen)

B: Welke uitslagen horen bij het getal 70 in de driehoek van Pascal?
Wat betekent dit getal in deze gevallen?

Uitwerking : De uitslag 4 – 4 . Er zijn 70 mogelijke scoreverlopen om
de uitslag 4 –4 te krijgen.

Opgave 3: Een route in een rooster begint in het punt O (0,0) en eindigt in
het punt P (4,3).

A: In welke rij van de driehoek van Pascal is het aantal
verschillende routes te vinden.

Uitwerking : In rij 7 (zie de rooster boven)

B: Zoek in de driehoek van Pascal op hoeveel routes er zijn van
het punt O (0,0) naar het punt P (4,3).

Uitwerking : Er zijn 35 routes mogelijk, je moet kijken naar, 4 x rechts en 3 x naar
boven.

Opgave 4: In je boekenkast staan acht boeken van Karl May. Je gaat er
twee uitkiezen om uit te lenen aan een vriend.

A: Leg de alternatieven dan ’wel kiezen’en ’niet kiezen’zijn.

Uitwerking: Bij elk boek maak je een keuze om het boek wel of
niet te kiezen.

B: Hoe vaak komt elk van de drie alternatieven voor?

Uitwerking : Wel kiezen komt 2 keer voor en niet kiezen komt 6 keer voor. Wel kiezen komt 2 keer voor omdat je maar 2 boeken gaat uitlenen. (Zie roze lijnen)

C: Met welk punt in het rooster correspondeert dit?

Uitwerking : (2,6) 2 naar rechts (dus wel kiezen)
en 6 keer naar rechts.

D: Zoek in de driehoek van Pascal op, hoeveel routes naar
dat punt leiden? (zie rooster)

Uitwerking : Er leiden 28 routes naar dat punt.

De getallenreeks van Fibonacci

Over Leonardo Pisano.

Leonardo Pisano is beter gekend met zijn bijnaam, Fibonacci. Hij was de zoon van Guilielmo en lid van de Bonacci familie. Fibonacci gebruikte wel eens de naam Bigollo dat goed voor niets of reiziger betekent. Fibonacci is vermoedelijk in 1170 in Pisa, wat nu in Italië ligt, geboren. Hij heeft in Noord-Afrika gestudeerd waar zijn vader Guilielmo een diplomaat was.
De taak van zijn vader was het vertegenwoordigen van de kooplieden van de republiek van Pisa, die een handelsnederzetting in Bugia hadden.
Later werd dit stadje Bougie genoemd en in onze tijd heet het Bejaia.
Bejaia is een poort voor het Middellandse-Zeegebied in Noord-Oost-Algerije. Fibonacci dacht over wiskunde in Bugia, en reisde met zijn vader rond. Hij herkende in iedere stad waar ze waren geweest de enorme voordelen van wiskundige systemen. Zoals het betalen met geld, berekenen van rente e.d. dingen. Fibonacci eindigde zijn rondreizen in 1200. Tegelijkertijd keerde hij in dat jaar terug naar Pisa. Daar heeft hij een belangrijk aantal teksten voor wiskunde geschreven. Fibonacci leefde in de tijd voor dat de boekdrukkunst bestond, dus werden zijn boeken met de hand geschreven en de enige manier om deze boeken te kopiëren was om ze over te schrijven met de hand. Van zijn volgende boeken hebben we nog steeds kopieën Liber abaci (1202, het boek van de telraam), Practica geometriae (1220, Praktische Geometrie), Flos (1225, bloem) en
Liber quadratorum (het boek van de vierkanten). We konden niet echt achterhalen in welke taal Fibonacci schreef. Maar aangezien de titels in het Latijn zijn, denken we dat hij in het Latijn heeft geschreven. Het is ook bekend dat Fibonacci andere teksten had geschreven, maar die zijn tot grote spijt kwijt geraakt.

Tientallig stelsel

Als de ”Liber abaci” in 1202 verschijnt, is het gebruik van Arabische cijfers en het daaraan verbonden tientallig stelsel alleen bekend bij een paar Europese geleerden vanuit 9e-eeuwse geschriften van Arabische wiskundigen. In dat tientallig stelsel bepaalt de plaats van een cijfer de waarde.
Zo heeft het cijfer 1 in het getal 10 een andere waarde dan de 1 in 100. De \'nietsnut\' laat het gebruik van dit getallenstelsel in berekeningen zien. Welk cijferstelsel er toen werd gebruikt is niet echt bekend, omdat er in ieder land wel een andere cijferstelsel was. Bijv. in Nederland waren
16 penningen een gulden.

Koopmannen vormen echter de inspiratie voor het grootste gedeelte van Fibonacci\'s eerste werk. Problemen die alledaags voorkomen zoals het berekenen van prijzen, opbrengsten, rente en het rekenen met de vele munteenheden die de landen rond de Middellandse Zee hanteerden, loste hij op met behulp van het tientallig stelsel.

De Theorie
De wiskundige ‘Fibonacci’ is echter vooral bekend geworden met zijn \'konijnenprobleem\': hoe snel breidt een kolonie konijnen zich uit onder ideale omstandigheden? Fibonacci gaat uit van twee konijnen, een mannetje en een vrouwtje. Het vrouwtje is na 2 maanden vruchtbaar, en baart daarna elke maand twee jongen, een mannetje en een vrouwtje. Die brengen op hun beurt ook weer na 2 maanden elke maand een stel jongen voort. Hoeveel paar konijnen is er na verloop van tijd, ervan uitgaande dat ze niet dood gaan?
Als je voor elke maand de uitkomst op een rijtje zet, ontstaat de ”Fibonacci -reeks”: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 enzovoort. Bij nadere bestudering van deze serie getallen valt op dat elk getal gelijk is aan de optelsom van de vorige twee getallen.

In de natuur
Verder is met enige moeite in de rangschikking van zaden op bloemhoofden en de schubben van een dennenappel een Fibonacci-ordening te bespeuren. Als we bloemhoofden van boven bekijken of een dennenappel precies van onderen, valt op dat de zaden en schubben in een spiraalvorm zijn gerangschikt. Het aantal spiralen met de klok mee en het aantal spiralen in de andere richting blijken getallen te zijn die naast elkaar liggen in de Fibonacci-reeks.
Hoewel het aantal spiralen niet altijd een Fibonacci-getal hoeft te zijn, is dat wel vaak het geval. Zoals net al gezegd vertonen dennenappels ook duidelijk Fibonacci-getallen. Hieronder staat een plaatje van de onderkant van een dennenappel, en daaronder staat weer een plaatje met de spiralen benadrukt. Rood in de ene richting en groen in de andere richting. Als je goed kijkt zie je dat er 13 rode spiralen en 8 groene spiralen zijn. Het is wel erg wonderbaarlijk want dit zijn de getallen die ook in de reeks van Fibonacci naast elkaar voorkomen. Dit is ook het geval bij een zonnebloem. De aantal spiralen die met de klok meegaan en de aantal spiralen die tegen de klok ingaan komen voor in de rij van Fibonacci. Bijv, er zijn 8 spiralen die tegen de klok ingaan en 13 spiralen die met de klok meegaan. En wat hieraan wonderbaarlijk is; is dat de getallen de twee getallen zijn die elkaar opvolgen in de rij van Fibonacci.

Toepassing

Zoals al gezegd werd Fibonacci vooral bekend om de getallenrij die zijn naam draagt. Die (oneindige) rij begint met

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ,.........

Het kenmerk van dit rijtje is dat elk getal de som is van de laatste 2 voorafgaande getallen. Met andere woorden, als we het n- de getal aangeven met Fn, dan is de formule als volgt:

Fn+2 = Fn+1 + Fn
Voorbeeld :

Bij wiskunde zijn een paar verschillende rijen en dat zijn de volgende:
= verzameling van de natuurlijke getallen: {0,1,2,3,4,.....} gehele getallen boven de nul bv 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 45, 89
= verzameling van de reële getallen. Hier komen de decimalen in voor die niet repeterend en niet eindig zijn. bv. √ 6,√7, √8
= verzameling van de rationele getallen. Hier komen de breuken in voor die in decimalen geschreven of repeterend of eindig zijn bv. a/b maar b ≠ 0 , a zowel b Element van
= verzameling van de negatieve en positieve gehele getallen: {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
< < <

We geven de getallenreeks van Fibonacci een rij
Fibonacci 1 , 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377
Rij 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

De formule was Fn+2 = Fn+1 + Fn en nu gaan we deze formule invullen.
Bij n vullen we de rij in bv.
F5+2 = F5+1 + F5 dat betekent F7 = F6 + F5 à 7e rij = de 6e rij + de 5e rij

Fibonacci 1 , 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377
Rij 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
F5 F6 F7

Dus F7 = 8 + 5 = 13

Een ander elegant probleem waarbij de rij van Fibonacci wordt voortgebracht is het volgende:

Ik wil een stenen pad aanleggen. Daarvoor heb ik de beschikking over twee soorten stenen. De ene soort is vierkant ( afmeting 1 bij 1) en de andere soort heeft een afmeting van 1 bij 2. Het pad is even breed als de breedte van een 1 x 1 steen. Hoeveel verschillende paden (patronen) van lengte n kan ik aanleggen met deze twee soorten stenen?

Hieronder ziet u een pad van lengte 8 met 4, 1 x1 stenen en 2 1 x 2 stenen.

Dat het antwoord Fn+1 is, is snel te zien:
Laten we afspreken dat we het aantal paden van, lengte k aangeven met ak. De laatste steen van een pad van lengte n bestaat uit een 1 x 1 of een 1 x 2 steen. Is het een 1 x 1 steen, dan kan het overige deel van het pad op an-1 manieren zijn opgebouwd; is het een 1x2 steen, dan kan het overige deel van het pad op an-2 manieren zijn opgebouwd, dus het pad van lengte n kan op an-1 + an-2 zijn opgebouwd. Volgens afspraak geven we het aantal paden van lengte n aan met an.
Blijkbaar geld dus de relatie an-1 + an-2 = an. Het is nu dus niet moeilijk meer om aan te tonen dat an = Fn+1.

We gaan nou proberen om het een beetje te verduidelijken met een toepassing.

Ik wil een (2 rij breed) stenen pad aanleggen. Daarvoor heb ik de beschikking over stenen met afmeting 1 bij 2. Hoeveel verschillende paden van lengte n kan ik leggen met deze stenen?
Bij n vullen we de lengte in en berekenen Fn. uit en als we Fn. hebben kijken we in de rij en hebben dan het aantal mogelijke paden.

Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377
Rij 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9

Hier ziet u de mogelijke paden van lengte 1, 2

A=F1+1 = F2 A2 = F2+1 = F3.
In de tabel zien we dat er een mogelijke patronen is, en dat zien we ook in de afbeelding. Dit is tevens geldig voor alle afbeeldingen.

En hier ziet u de mogelijke paden van lengte 3

A3 = F3+1 = F4

en van lengte 5

A5 = F5+1 = F6

We zien hier weer het rijtje van Fibonacci verschijnen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Voor het bewijs merken we op, dat als we de paden in de lengte middendoor knippen, er twee identieke paden ontstaan van breedte 1, dus van het type zoals besproken in het voorgaande probleem.

De Guldensnede

Wat is de Gulden Snede in en wie is de bedenker van de Gulden Snede?
De Gulden Snede is een verhouding van lengtes. De uitdrukking in het Latijn hiervoor is \'sectio aurea of proportio divina\'. Uitgangspunt is een lijnstuk dat wordt gedeeld in twee delen, waarvan het kleinste zich verhoudt tot het grootste en het grootste tot het geheel.
De Gulden Snede is een irrationeel getal. Net als de (p = 3,14 . . .) blijven er eeuwig getallen komen, zonder regelmaat.
Vele Gulden Snede-boeken weten te melden dat de verering van de gulden snede teruggaat op de Griekse wiskundige en filosoof Pythagoras uit de zesde eeuw voor Christus. Die heeft zelf geen geschriften nagelaten, maar het is wel bekend dat hij wiskundige inzichten verbond met een getallenmystiek die de orde van de wereld door meet- en rekenkundige vormen beheerst zag. De eerste ondubbelzinnige aanwijzing naar de Gulden Snede komt voor in een van de boeken van Euclides, rond 300 voor Christus. Euclides vermeldt ook een groot aantal bijzondere wiskundige eigenschappen van deze verhouding, maar het belang daarvan blijft in de oudheid tot de wiskunde beperkt.
Het zal tot in de Renaissance duren voordat de gulden snede, onderwerp wordt van een afzonderlijke verhandeling. Maar in deze tijd wordt nog lang niet van \'Gulden Snede\' gesproken, eerder over \'goddelijke verhoudingen\'. Pas in 1835 duikt de term \'gulden snede\' in Duitsland voor het eerst op, in een wiskundeleerboek van een zekere Martin Ohm, wiens beroemdere broer nog altijd voortleeft in de wet van de elektrische weerstand die hij ontdekte. Dan breekt langzamerhand de bloeitijd van de gulden snede aan. Zo\'n twintig jaar later publiceert de Duitse filosoof Adolf een boek waarin de gulden snede verhoudingen worden weer gegeven. Het hele dierenrijk wordt volgens hem door de gulden snede beheerst. En Adolf is niet de enige. In 1821 had de Engelse wiskundige John Leslie een verband gelegd tussen de gulden snede en de schelp van de nautilus.
De onderzoekers zijn vooral de tweede helft van de negentiende eeuw druk bezig geweest met de Gulden Snede. Vooral Gustav Theodor Fechner, hij heeft er onderzoek naar gedaan door zijn respondenten een keuze te laten maken uit een reeks rechthoeken van verschillend formaat. Ondanks zijn eigen twijfel bleken de mensen waaronder hij een onderzoek deed inderdaad een zekere voorkeur te hebben voor de Gulden Snede. Daarmee was het met het Gulden Snede onderzoek nog niet gedaan. Er bestaat zelfs een wetenschappelijk tijdschrift (\'Fibonacci Quarterly\') dat speciaal is gewijd aan de wonderbaarlijke eigenschappen van de Getallenreeks van Fibonacci. De astronoom Johannes Kepler bewees vierhonderd jaar later dat ze wiskundig met de Gulden Snede verbonden is.

De theorie

We gaan proberen om de Gulden Snede uit te leggen door middel van voorbeelden.

Wanneer je een lijn van 1 meter in twee ongelijke stukken verdeelt, dan hebben die twee stukken een bepaalde verhouding ten opzichte van elkaar.
Wanneer je nu deze lijn (onder) van 1 meter verdeelt in twee stukken, waarvan de kleinste 38,2 cm lang is en de grootste 61,8 cm, dan is de verhouding tussen het kleine stuk en het grote stuk dezelfde als de verhouding tussen het grote stuk en de totale lijn, namelijk 0,618:1.

AB / PB =
100 / 61,8 = 1,618122977

PB / AP =
61,8 / 38,2 =1,617801047

Dus : AB / PB = PB / AP

Deze lijn die u hierboven ziet is verdeeld volgens de Gulden Snede.

Dit was gewoon een simpel voorbeeld, maar volgens ons wel een duidelijke.
Men heeft de Gulden Snede natuurlijk niet toegepast in rechte lijnen, het is in allerlei dingen terug te vinden zoals de oude tempels van de Grieken, in de natuur en de kunst.

Wat zijn toepassingen van de Gulden Snede?

Hieronder staat een plaatje van een tempel. Ik heb er rode strepen gezet, deze strepen stellen de Gulden Snede-verhoudingen voor.

Aan de onderkant staan twee dieren, beide gevangen in een strepenpatroon. Duidelijk is dat in de natuur ook de Gulden Snede voorkomt. Dus niet alleen bij de mens, maar ook bij dieren.

In de gebouwen uit de oudheid, zoals die U net hierboven kon zien, zijn Gulden Snede-verhoudingen wel aanwezig, maar het is niet duidelijk of dit met opzet is gebruikt is of niet. Zo zijn er ook nog andere dingen op te noemen waar de verhouding is gebruikt zoals de schildrijen van Piet Mondriaan, The Dome of St. Paul\' in Londen, de Chinese muur, een muziek instrument “de viool”, een cd en het huis dat Le Corbusier ontwierp in Weissenhof-Siedling, Stuttgart, Duitsland, dat helemaal vol zit met Gulden Snede-verhoudingen.

De Gulden Snede in de kunst

Als we het langste stuk phi (met een kleine letter p) noemen, is het kortste lijnstuk gelijk aan (1 - phi), ervan uitgaande dat de lengte van de hele lijn 1 is. De vergelijking van de verhoudingen kan herschreven worden als 1 / phi = phi / (1 - phi) en met een klein beetje wiskunde rolt daar de oplossing phi = 0,61803... uit. Of bij een ruwe benadering 5 : 8. Die \'kleine phi\' is dus gelijk aan
1 – phi. De phi-verhouding is al sinds de oudheid een dankbaar handvat voor architecten, beeldhouwers en schilders. De horizon in een landschap of zeegezicht lig vaak op een hoogte van phi (of 1 - phi). De maat duikt ook op in details van het Parthenon, de Griekse tempel die vijf eeuwen voor het begin van onze jaartelling op de Acropolis bij Athene werd gebouwd. En de kennis van phi gaat waarschijnlijk nog veel verder terug, tot misschien wel 2700 voor Christus. Als je namelijk een \'plakje\' uit de Grote piramide van Cheops snijdt (wordt nog uitgelegd), krijg je een driehoek met een hoogte van 147 m en een basis van 232 m; de verhouding tussen de schuine zijde en de halve basis blijkt gelijk aan 1,618...
Voorbeeld :
Het beroemde schilderij van Leonardo da Vinci waarin de engel Gabriël aan Maria verschijnt. Ook deze schilderij zit vol met Gulden Snede\'s.

Wortel 5 = 2,236067977
phi = 0,61803. . . . .
Lengte schilderij = 1+ phi + phi = 1 + 0,61803 . . . + 0,61803 . . . = 2,23606
Dus de lengte is = wortel 5 = 1 + phi + phi

En wat blijkt uit de schilderij :
De horizon is met de verhouding van Gulden Snede getekend en dat is ook het geval met de afstand tussen de personen.

De piramide van Cheops.

Voordat we beginnen met het onderzoek naar de gulden snede verhoudingen, wil ik u eerst de maten van de piramide geven. De piramides waren gemeten in de Pyramide Inch, afgekort PI. Omgerekend is het 25,426901977 millimeter. Dus 1 PI = 25,426901977 mm
Om het onderzoek los te kunnen gooien op de piramide van Cheops moeten we eerst aantonen van waar we de piramide snijden, dat ziet u in de afbeelding hieronder.

We beschikken over de gegevens van de hoogte en de basis, maar deze maten zijn nog in PI en moeten dus omgerekend worden in meters.
H = Hoogte : 5813 PI
B = Basis : 9132 PI
S = Schuinezijde : ?

En nou gaan we het omrekenen in meters.

De hoogte was 5813 PI
Dus : 5813 x 25,426901977 = 147806,5812 mm ans / 10 =14780,65812 cmans / 100 = 147,8065812 m
Dus de hoogte in meters was : 147,8065812 m

De basiszijde was 9132 PI
Dus : 9132 x 25,426901977 = 232351,0303 mmans / 10 = 23235,10303 cmans / 100 = 232,3510303 m
Dus de basis in meters was : 232,3510303 m

De schuine zijde : ?
De schuine zijde moeten we nog berekenen.

We beschikken nou over de volgende gegevens; de hoogte en de basis. De basis moeten we in tweeën delen, omdat we maar de helft nodig hebben.
Dus de basis is : 232,3510303 / 2 = 116,1755152 m

En nou de berekening van de schuine zijde.

Nu weten we de lengte van de schuine zijde ook, dat is 187,9987654 m

We beschikken nou over alle gegevens, die geven we nog een keer weer.

Hoogte = 147,8065812 m
Basiszijde = 116,1755152 m
Schuine zijde = 187,9987654 m

Wat is nou het verband met de gulden snede?

S / B = Phi
Phi = 1,61803398875

187,9987654 m / 116,1755152 m = 1,618230529

Het verschil met de echte Phi = 1,618230529 – 1,618033988 = 0,000196541
en dat is vrij nauwkeurig.

De rode lijnen die zijn
aangegeven op de tekening,
zijn in verhouding met elkaar
volgens de gulden snede
verhouding.

Verband met de getallenreeks van Fibonacci.

De omschrijving van de Gulden Snede is \'een lijnstuk dat wordt gedeeld in twee delen, waarvan het kleinste zich verhoudt tot het grootste als het grootste tot het geheel\', zoals al eerder gezegd.
Dat betekent dus een verhouding van 0,618:1. Oftewel ruwweg 5:8. Dat zijn heel toevallig Fibonacci- getallen. En als je de cijfers uit de reeks van Fibonacci op elkaar deelt komt het getal 1,618~ eruit. Deel maar 5 / 8, dat is 0,625. En 8 / 13 = 0,615 en 13 / 21 = 0,619. Hoe groter de getallen, hoe preciezer het getal. Fibonacci\'s getallen zijn reële getallen, en dat is de Gulden Snede niet. Zie de hiernaast staande Nautilusschelp. Je kan die op twee manieren uitleggen: ten eerste op de manier van Fibonacci, waarbij de rechthoeken zich verhouden tot elkaar in Fibonacci- getallen, 2 en 3, 3 en 5, 5 en 8 enz. De tweede manier is de manier van de Gulden Snede. Hier wordt gezegd dat de lijnstukken zich verhouden als 0,618 tot 1. Eigenlijk zijn beide manieren goed, de Gulden Snede is alleen niet afgerond, en dus preciezer dan de Getallenreeks van Fibonacci.

Belangrijke geleerden

René Descartes

Geboren: 31 maart 1596 in La Haye, Frankijk
Gestorven: 11 februari 1650 in Stockholm, Zweden
René Descartes was een filosoof en een wiskundige. Op 8-jarige leeftijd stapte hij het Jesuïten College in La Flèche in. Hier studeerde hij acht jaar, onder andere logica en de traditionele filosofie volgens Aristoteles. Ook leerde hij wiskunde uit de boeken van Clavius. Via school kreeg hij in de gaten hoe weinig hij eigenlijk wist. Het enige vak wat hem bevredigde was wiskunde. Omdat hij gedurende school in een slechte gezondheid verkeerde kreeg hij permissie om uit te slapen tot 11 uur ’s morgens. Dit werd een gewoonte van hem die hij zijn hele leven lang bleef houden. Descartes heeft een tijdje in Parijs verbleven, studeerde toen af aan de universiteit van Poitiers en ontving zijn graad in wetsgeleerdheid. Toen schreef hij zich in bij de militaire school in Breda. In Nederland startte hij een studie wiskunde bij de wetenschapper Isaac Beeckman. Na twee jaar in Nederland te zijn geweest begon hij te reizen door Europa. In 1619 sloot hij zich aan bij het Beierse leger. Van 1620 tot 1628 reisde Descartes door Europa en bezocht de Bohemen, Hongarije, Duitsland, Nederland en Frankrijk. In Parijs leerde hij Mersenne kennen, een belangrijk contact, wat hem in aanraking bracht met de wereld van de wetenschap. Vanuit Parijs reisde hij naar Italië, waar hij een tijdje verbleef in Vernice, totdat hij in 1625 terugkeerde naar Parijs.
Op een gegeven ogenblik was Descartes het reizen moe en besloot zich te settelen. Hij besteedde veel tijd aan het uitzoeken van een land dat bij hem paste en kwam uit bij Nederland. Dat was een goede beslissing, die hem niet bleek te spijten. Gauw nadat hij zich in Nederland had gevestigd, begon Descartes aan een natuurkundig stuk werk. In Nederland had Descartes een aantal scheikundige vrienden, maar ook bleef zijn contact met Mersenne bestaan. Hij had ook nog steeds contact met Beeckman, en met onder andere Huygens en Mydorge. Zijn vrienden vonden dat hij zijn werk moest publiceren, wat hij uiteindelijk deed in Leiden. De werken die hij heeft gepubliceerd zijn optische, meteorologische, algebra, geometrie, filosofie, theologie, scheikunde. Verder discussieerde hij met Pascal over het wel of niet bestaan van vacuüm. Descartes overleed aan longontsteking

Euclides

Geboren: ongeveer 325 voor Christus
Gestorven: ongeveer 265 voor Christus, Alexandrië, Egypte
Euclides van Alexandrië heeft op de academie van Plato gezeten. Hij was een van de beste wiskundigen uit de oudheid, vooral bekend om zijn verhandeling \'de Elementen\' over wiskunde. Door de lange tijd dat \'de Elementen\' bewaard is gebleven, is Euclides een leermeester geweest voor vele wiskundigen. Helaas zijn \'de Elementen\' nu verdwenen. Hoogst waarschijnlijk is \'de Elementen\' een verzameling van alle wiskundige kennis die men had in zijn tijd, en heeft Euclides zelfs niets toegevoegd, maar het werk was wel uniek om zijn compleetheid. De hele verhandeling bestaat uit dertien boeken, ieder met een eigen onderwerp.
Euclides heeft zelf dus geen grote bijdrage geleverd aan de wiskunde, maar dankzij de lange overlevingstijd en de duidelijkheid van \'de Elementen\', is hij erg bekend. ‘De elementen’ heeft vele wetenschappers een stap in de goede richting doen zetten.

Pierre de Fermat

Geboren: 17 augustus 1601, Beaumont-de-Lomagne, Frankrijk
Gestorven: 12 januari 1665, Castres, Frankrijk
Pierre Fermat was een rijke leerhandelaar en tweede consul van Beaumont-de-Lomagne. Hij heeft een schoolopleiding gehad in een Frans klooster. Voordat hij in 1629 naar Bordeaux verhuisde is hij naar de Universiteit van Toulouse geweest. In Bordeaux begon hij met zijn eerste serieuze wiskundige onderzoeken. Na Bordeaux ging Fermat naar Orléans, waar hij rechtsgeleerdheid studeerde. Hij ontving een academische graad voor burgerlijk recht. Zo werd hij advocaat en mocht hij zijn naam van Pierre Fermat veranderen in Pierre de Fermat. Al gauw promoveerde hij. In de vroege jaren van 1650 begon een epidemie: de pest, wat inhield dat alle oudere mannen stierven. Fermat werd ook doodverklaard, wat ten onrechte bleek, dus er werd een correctiebrief geschreven. In Toulouse ontmoette Fermat Carcavi, die net als hij voor het parlement werkte. De mannen deelden hun interesse in wiskunde en Fermat vertelde Carcavi over zijn wiskundige ontdekkingen. Toen Carcavi naar Parijs ging vertelde hij Mersenne over Fermat\'s ontdekkingen, en Mersenne schreef gelijk een brief aan Fermat. Fermat schreef een brief terug, waarin hij beschreef welke fouten hij dacht dat Galileo had gemaakt. Hij schreef ook over zijn restoratie van Apollonius\' \'Plane Loci\'. Roberval en Mersenne vonden de problemen erg moeilijk en vroegen Fermat alles uit te lichten, wat hij deed met zijn vernieuwde versie van \'Plane Loci\'.
Zijn reputatie van grote wiskundige kwam snel, maar desondanks wilde Fermat zijn werken niet publiceren. Hoewel sommige werken wel zijn gepubliceerd, waaronder een belangrijk werk over maxima en minima. Toen Fermat zei dat er fouten in het werk van Descartes zaten, werd deze boos, en zo kwam de strijd tussen de twee op gang. Descartes claimde dat het werk van Fermat over maxima en minima niet correct was. Ook Desargues, Roberval en Etienne Pascal werden betrokken bij de strijd. Uiteindelijk moest Descartes toegeven dat het wel correct was, maar ondertussen schreef hij naar Mersenne dat hij het nog steeds incorrect vond en dat Fermat inadequaat was als wiskundige en filosoof. Omdat Descartes een belangrijke en gerespecteerde wetenschapper was, kon hij de reputatie van Fermat aardig wat schade toebrengen.
Christiaan Huygens

Geboren: 14 april 1629 in Den Haag, Nederland
Gestorven: 8 juli 1695 in Den Haag, Nederland
Christiaan Huygens kwam uit een vooraanstaande Nederlandse familie. Zijn vader, de diplomaat Constantin Huygens, was een vriend van Descartes en correspondeerde regelmatig met Mersenne. Totdat hij zestien jaar was kreeg hij thuis les in geometrie, mechanica en sociale vaardigheden zoals luit bespelen. Zijn wiskundige opleiding was beïnvloed door Descartes, die regelmatig op bezoek kwam en geïnteresseerd was in de vooruitgang in zijn opleiding. Later ging Huygens wiskunde studeren aan de universiteit van Leiden waar hij les kreeg van Van Schooten. Daarna vervolgde hij zijn opleiding aan het Oranje College in Breda. Door zijn vaders contact met Mersenne begon ook Huygens met Mersenne te corresponderen. Net zoals vele wetenschappers wilde Huygens ook graag naar Frankrijk, dus ging hij naar Parijs. Toen hij weer terug in Nederland was, schreef hij een kort werk over de waarschijnlijkheidstheorie, het was het eerste gepubliceerde werk over dit onderwerp. Al gauw kreeg hij ook interesse voor astronomie. Hij ontdekte een andere manier om lenzen te schuren en polijsten. Met zijn eigen lens ontdekte Huygens in 1655 de eerste maan van saturnus. Het volgende jaar ontdekte hij de werkelijke vorm van de ringen om Saturnus. Hij schreef hierover in een stuk, maar niet iedereen geloofde hem. Pas tien jaar later stond het vast en moesten zelfs de zwartkijkers geloven in Huygens\' theorie. In 1660 keerde hij terug naar Parijs, waar hij op societies wiskundigen ontmoette, waaronder Roberval, Carcavi, Pascal en Desargues. In 1661 bezocht hij Londen, vooral om meer uit te vinden over de nieuw gevormde Koninklijke Sociëteit. Hij was erg onder de indruk van Wallis en andere Engelse wetenschappers, met wie hij nog lang contact onderhield. Hij was ook zeer onder de indruk van Boyle\'s vacuüm pomp. Na zijn terugkeer naar Den Haag deed hij een aantal experimenten van Boyle na voor zichzelf. In 1663 werd Huygens uitgekozen voor de Koninklijke Society van Londen. Hij vroeg patent aan op zijn pendule klok, die hij voor het eerst in 1656 had gemaakt, en onderzocht meerde manieren om klokken te maken. In 1666 accepteerde Huygens de uitnodiging van Colbert om deelgenoot te worden van de Koninklijke Academie van Wetenschappers. Tot nu toe heeft hij niet geleden aan ziektes, maar in 1670 kreeg hij serieus te maken met ziekte en was hij genoodzaakt Parijs te verlaten en terug te keren naar Nederland. Hij vroeg uitgevers ongepubliceerde werken te publiceren. In 1672 leerde Huygens Leibniz kennen, die hierna regelmatig de Academie bezocht. Van Huygens leerde Leibniz wiskunde. Uiteraard zijn er ook veel stukken van Huygens gepubliceerd. Helaas kreeg hij steeds vaker last van ziektes en overleed hij uiteindelijk op
64-jarige leeftijd.

Galileo Galilei

Geboren: 15 februari 1564 in Pisa, Italie.
Gestorven: 8 januari 1642
Met het leven en werk van Galilei hebben een groot aantal historici en critici beziggehouden. Zijn bijdragen zijn talrijk. Hij gaf een overzicht van de klassieke mechanica uit zijn tijd, en zijn waarnemingen van de nachtelijke hemel met de telescoop vestigden de grondslagen voor een fysisch georiënteerde astronomie. Hierdoor ontstond er een nieuwe manier van wetenschap oefening. Namelijk het bewijzen van je theorie met behulp van experimenten. Hij was de zoon van de handelaar Vincenzio Galilei en Giula Ammannati. De familie was niet welvarend en verhuisde naar Florence. Daar bezocht hij een jezuïetenschool en werd zelfs op vijftienjarige leeftijd novice. Zijn vader wilde echter dat Galileo arts werd en stuurde hem in 1581 naar de universiteit van Pisa. De medicijnenstudie stond hem niet aan en hij verwierf zich de reputatie twistziek te zijn. Zijn belangstelling ging veel meer naar wiskunde uit en in 1585 verliet hij de universiteit zonder medische graad om in Florence les te geven. Na de dood van zijn vader vertrok hij in 1593 naar het liberale Padua waar hij eveneens les gaf en onder meer een militair kompas uitvond. Hij leefde er op grote voet en had een minnares Marina Gabba genaamd.
Hij verwekte bij haar een reeks onwettige kinderen. Ook had Galilei een eigen opvatting over het heelal. In 1597 publiceerde de Duitse wetenschapper Johannes Kepler het boek Mysterium Cosmographicum, dat \'Kosmografisch Mysterie\' betekent. In dit boek steunde Kepler openlijk de opvattingen van Copernicus over het heelal. De stelling van Copernicus was dat de planeten, waaronder ook de aarde, in een baan rond de zon zouden draaien. Galilei loofde het werk van Kepler en was het helemaal eens met de revolutionaire ideeën die in zijn Mysterium Cosmographicum werden uiteengezet. Maar toen Johannes Kepler, die het werk van Galilei kende, hem vroeg om openlijk zijn steun te verklaren, reageerde Galilei hier niet op. De reden hiervan was dat Galilei vlakbij Rome, vlakbij de invloed en macht van de tirannieke rooms-katholieke kerk woonde. Op dat ogenblik wilde hij niet tot het uiterste gaan door zijn opvattingen in het openbaar te verkondigen.

Marin Mersenne

Geboren: 8 september 1588, Oize in Maine, Frankrijk
Gestorven: 1 september 1648, Parijs, Frankrijk
Marin Mersenne studeerde twee jaar theologie in Sorbonne. In 1611 kwam hij bij de religieuze orde van de Minims (een Jasenist, is iemand die de ketterse leer volgt, die vrijheid benadrukt en leert dat Jezus niet is gestorven voor iedereen).
Hij ging door met zijn opleiding binnen de orde gedurende zijn verblijf in Nigeon, en later Meaux. Toen hij priester werd bij het Place Royale keerde hij terug naar Parijs. In een Minimklooster in Nevers gaf hij vier jaar filosofieles. In 1619 ging hij weer terug naar Parijs naar het Place Royale. Zijn cel in Parijs werd de ontmoetingsplaats voor Fermat, Pascal, Gassendi, Roberval en anderen die later bij de Franse Academie zouden gaan. Marin Mersenne correspondeerde later met vele uitstekende wiskundigen en speelde een grote rol in de verspreiding van kennis over wiskunde toen er nog geen wetenschappelijke bladen waren. Hij had met Huygens, Descartes en Galileo vooral veel contact wat betreft astrologie. Hij onderzocht priemgetallen en probeerde een formule te vinden voor alle priemgetallen, maar slaagde hier helaas niet in. Mersenne publiceerde een aantal stukken over muziek en astrologie.

Nawoord

Wij vonden het een heel erg moeilijk (profiel)werkstuk om te maken, vooral omdat er zo weinig over te vinden was. We hebben heel erg veel op internet gezocht. Eerst hadden we het heel erg moeilijk met het vinden van de informatie. Maar later ging dat ook wel makkelijker. Uiteindelijk hebben we het toch voor elkaar gekregen om het werkstuk in elkaar te zetten, door goed gebruik te maken van de bronnen die we hadden. We hadden er meer tijd voor nodig dan, dat gepland was. In totaal hebben we er ongeveer 85 uur over gedaan.

Als voorbeeld voor de gulden snede konden we veel plaatjes gebruiken, maar om het niet op een fotoboek te laten lijken hebben we dat maar toch niet gedaan.

Tot slot willen we u nog mededelen dat de (profiel)werkstuk zeer nuttig voor ons is geweest. We weten nu allebei iets over de onderwerpen die we behandeld hebben. Dus het is voor ons heel erg nuttig geweest. Nou is onze enige wens, dat het door u wordt goedgekeurd.

Bronvermelding

http://www.pandd.demon.nl/elementen.htm.
De elementen van Euclides.

http://www.reformatorischdagblad.nl/series/uitvindingen/990810weet05.html
Gaat over Pascal.

Encarta CD ’98. Zoeken naar Pascaline.
Werking van de Pascaline

http://www.student.tue.nl/t/g.dingemans/geschiedenis%20van%20natuurkunde/blaise_pascal_bronnen.htm
Stuk over de jansenisme
En over de wet van Pascal

www.melusine.eu.org/syracuse/bbgraf/ icons/exemples/cycloide.jpg
Afbeelding van cycloïde.

http://www.phys.tue.nl/TULO/info/guldensnede/architectuur.html
http://www.vuiksvertier.nl/wetenschap/gulden-snede-inleiding.htm
http://home.hccnet.nl/r.bend/piramide.htm
Deze sites heb ik gebruikt voor het onderzoeken van de gulden snede in de piramide van Cheops.

http://www.smartxt.nl/wiskundegeschiedenis/FrameWiskundigen.html
Site gebruikt voor, tijdgenoten van Blaise Pascal, zie PW blz. 5

http://www.home.zonnet.nl/leonardeuler/fibo.htm
Willem’s Fibonacci site, zeer handige site.

http://www.goldenmeangauge.co.uk/golden.htm
site gebruikt voor plaatjes met gulden snede verhoudingen.

http://www.nvvw.nl/ontpyth.htm
Gebruikt voor hoofdstuk gulden snede, (voor wie de ontdekker was)

http://www.phys.tue.nl/TULO/info/guldensnede/index5.html
ik zie dat we de site hebben gebruikt maar ik weet absoluut niet meer voor wat.

http://scienceworld.wolfram.com/biography/Pascal.html
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Pascal.html
Site gebruikt voor biografie van Blaise Pascal.

http://www.pascalcollege.nl/algemeen/blaisepascal/blaisepascal.htm
zeer informatieve site. We hebben het gebruikt voor de biografie, en andere dingen.

http://mathforum.org/workshops/usi/pascal/pascal_intro.html
engelse site, gebruikt voor de constructie van de driehoek.

wiskunde.pagina.nl
gebruikt om wiskunde websites te vinden.

Groot Winkler Prins Encyclopedie, 8e druk. Elsevier
Gebruikt voor Pascal, Gulden Snede en het Jansenisme.
Pagina ; 223, 224, 225, 75, 478, 479, 376, 424, 477

http://www.hio.ft.hanze.nl/klhg/pascal/Pascal.html
Gebruikt voor de grondslagen van de waarschijnlijkheidsrekening.

Correspondentie met Martijn Dekker, Universiteit Utrecht Mathematisch Instituut
dekker@ math.uu.nl
Heeft ons een aantal boeken aangeraden. Die niet in de bibliotheek te vinden waren.

http://users.pandora.be/wiskunde/
Gebruikt voor Fibonacci.
Wiskunde.pagina.nl Gebruikt om wiskunde sites te vinden
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Pascal.html
Engelse site, gebruikt voor de biografie van Pascal.

Dhr. Essink, geschiedenis en economie gestudeerd. Gevraagd over cijferstelsel.
Mvr. Kok, voor vertalingen uit het Latijn.

Logboek

D Tijd Plaats Werkzaamheden Opmerkingen Afspraken
03-02-02 60 min Ismail & Ibrahim Vooronderzoek naar onderwerp. Onderwerp gevonden. Aan Mevr. Bosch tonen.
04-02-02 60 min Ismail & Ibrahim Hoofd deel vragen bedenken. Vastgesteld Aan Mevr. Bosch tonen.
09-02-02 60 min Ismail & Ibrahim Vaststellen Lay-out Vastgesteld
120 min Ismail Typen pascal
11-02-02 180 min Ibrahim Boeken gezocht over de filosofen/wiskundigenin centrale bib. 3 boeken gevonden. Geen enkel gebruikt.
12-02-02 120 min Ibrahim Info over Leonardo Pisano (Fibonacci) zoeken Een paar sites die geen waarde hebben.
12.02.02 180 min Ibrahim Tekst over Fibonacci vertalen uit het engels Lukt niet echt makkelijk.
10.03.0211.03.02 180 min Ibrahim Verdere informatie over Fibonacci zoeken. Het is niet gemakkelijk om informatie over hem te vinden.
12.03.02 100 min Ibrahim De getallenreeks van Fibonacci bestuderen thuis. Niet erg veel van gesnapt.
12.03.02 140 min Ibrahim Uitleg over de reeks van Fibonacci door Cengiz en Fethulah Snap een stukje maar niet geheel Afspraak gemaakt voor ’n avondje uitleg.
11.03.02 120 min Ismail De Gulden Snede
13.03.02 420 min Ismail Theorie over de driehoek van Pascal zoeken. Waarom staan er niet veel informatieve sites? In de STUZ
13.03.02 90 min Ismail In de STUZ gevonden informatie gesorteerd en bewerkt.
13.03.02 30 min Ibrahim Zoeken naar Pascal opgaven.
11.03.02 90 min Ismail Gulden snede bestuderen Ik denk dat ik het wel snap.
16.03.02 240 min Ismail Gulden Snede Afbeeldingen maken.
16.03.02 120 min Ismail Verder gegaan
16.03.02 240 min Ibrahim Informatie over een aantal belangrijke geleerden gezocht. Die in het verhaal voorkwamen.
17.03.0218.03.02 840 min Ismail Alles uitwerken (typen) tot gehele werkstuk brengen.
14.03.02 30 min Ismail Laten checken door een familielid. Y. Buyukcelik Adviezen gekregen.
15.03.02 180 min Ibrahim Naar de Centrale Bibliotheek. Voor het vinden van een aantal titels. Ze hadden de titels niet in de Bibliotheek
21.03.02 360 min Ibrahim Uitgebreide uitleg gekregen over Fibonacci en andere onderwerpen. Uitleg door Cengiz.
22.03.02 240 min Ibrahim Uitwerken van Pascal en Fibonacci opgaven. Met hulp van Cengiz en Fethullah.
28.03.02 30. min Ismail & Ibrahim “beoordelings-moment” in breekweek 6 U heeft de punten gegeven, die u niet goed vond. Punten verbe-teren.
30.03.02 225 min Ismail Wijzingen aanbrengen, na beoordelingsmoment in Breekweek 6 Voor de punten, zie klad P.W.
31.03.02 210 min Ibrahim IDEM 30.03.02 IDEM 30.3.02
01.04.02 300 min Ismail IDEM 30.03.02 IDEM 30.3.02
04.04.02 90 min Ibrahim In encyclopedie gezocht, voor de wijzigingen.
11.04.02 120 min Ibrahim Verbetering 2
11.04.02 30 min Ismail Voorbereiding presentatie
12.04.02 45 min Ismail & Ibrahim Presentatie voor de klas Tijdens les
21.20.02 180 min Ismail Verbetering 3
TOTAAL 91 SLU

INHOUDSOPGAVE

Inleiding 2
De driehoek van Pascal 3
Over Pascal 3
Korte samenvatting over zijn wiskundig en natuurwetenschappelijk werk. 5
Pascal’s belangrijkste werken. 5
De theorie….………………………………………………………………………………………..6
Wat geeft ‘De Driehoek’ aan? 7
De som van de rijen. 7
Hoe de driehoek is geconstrueerd. 8
Wat kunnen we in deze tijd nog met ‘De Driehoek’? 8
Toepassing van de theorie. 9
De getallenreeks van Fibonacci 12
Over Leonardo Pisano. 12
Tientallig stelsel 12
De Theorie 13
In de natuur 14
Toepassing 15
De Guldensnede 17
De theorie ………….……………………………………………………………………………...18
Wat zijn toepassingen van de Gulden Snede? 18
De Gulden Snede in de kunst 19
De piramide van Cheops. 20
Verband met de getallenreeks van Fibonacci. 22
Belangrijke geleerden 23
René Descartes 23
Euclides…………….……………………………………………………………………………...23
Pierre de Fermat 23
Christiaan Huygens 24
Galileo Galilei 24
Marin Mersenne 25
Nawoord 26
Bronvermelding 27
Logboek 29