Polaire Functies

INLEIDING

Het onderwerp dat ik voor mijn praktische opdracht wiskunde heb gekozen is polaire functies. Dat zijn functies die niet zijn uitgedrukt in x en y maar in R en ƒ¦. R staat voor de afstand vanaf het 0-punt en ƒ¦ staat voor de hoek die de lijn vanaf het nulpunt tot het punt maakt, met de x-as.
voorbeeld: 3,1/4ƒÎ

HOE KOM IK OP MIJN REKENMACHINE NAAR POLAIRE FUNCTIES?

Bij de Casio kom je op deze manier bij de polaire functies:
1- on
2- graph
3- f3(type)
4- f2(R=)
nu kan je polaire formules intikken.

HOE REKEN IK VAN X EN Y NAAR R EN ƒ¦ ?

Voor het omreken van x en y naar R en ƒ¦ gelden de volgende twee formules:
R=ã(x2+y2) ƒ¦=tan-1(y/x)
Voor het omrekenen van R en ƒ¦ gebruiken we de volgende formules:
Y=Rsinƒ¦ x=Rcosƒ¦

POLAIRE FUNCTIES

We gaan nu kijken of we bekende formules kunnen omzetten in polaire formules. De formules welke we gaan doen zijn:
1- x=p & y=p
2- y=ax+b
3- y= x2 & y=ãx
4- y=1/x
5- formules van cirkels met als middelpunt 0,0
6- formules van cirkels met een ander middelpunt, maar die wel door 0,0 gaan

FORMULE 1

De grafiek van de formule x=p is een verticale lijn, en de grafiek van de formule y=p is een horizontale lijn.

We beginnen met x=p. Als je hier de omzetformule gebruikt krijg je Rcosƒ¦=p. Aangezien we alleen maar een R voor het =teken mogen hebben gaan we de rest (cosƒ¦) naar rechts verschuiven. Je krijgt dan R= p/cosƒ¦. Op dezelfde manier krijg je bij y=p R=p/sinƒ¦.

FORMULE 2

De grafiek van de formule y=ax+b is een schuine lijn.

Als je de omzetformule gebruikt krijg je Rsinƒ¦=aRcosƒ¦+b. Hieruit krijgen we
Rsinƒ¦-aRcosƒ¦=b. Hieruit volgt R(sinƒ¦-acosƒ¦)=b, tenslotte R=b/(sinƒ¦-acosƒ¦). Als b 0 is krijg je de formule R=0, dus geldt: b‚0.

FORMULE 3

De grafieken van de formules y=x2 en y= ãx zijn parabolen.
*(zie eind)
Als je bij y=x2de omzetformule gebruikt, krijg je Rsinƒ¦=(Rcosƒ¦)2 dit geeft Rsinƒ¦=R2cos2ƒ¦. Als je beide kanten deelt door Rcos2ƒ¦ dan krijg je R= sinƒ¦/cos2ƒ¦.

Als je bij ãx de omzetformule gebruikt krijg je Rsinƒ¦=ã(Rcosƒ¦). Als we alles kwadrateren krijg je R 2 sin2ƒ¦=Rcosƒ¦. Als we alles door R delen krijg je Rsin 2 ƒ¦=cosƒ¦. Als je beide kanten deelt door sin 2 ƒ¦, dan krijg je R=cosƒ¦/sin2ƒ¦.

FORMULE 4

De grafiek van de formule y=1/x is een hyperbool.

Als je hier de omzetformule gebruikt krijg je Rsinƒ¦=1/(Rcosƒ¦). Dus Rsinƒ¦Rcosƒ¦=1, hieruit volgt R 2 (cosƒ¦sinƒ¦)=1. Hieruit volgt R=1/ã(cosƒ¦sinƒ¦).

FORMULE 5

Een cirkel met het middelpunt 0,0 en straal p geldt het volgende R=P

FORMULE 6

Voor een cirkel met een middelpunt op de x-as met straal p die door het punt 0,0 gaat geldt de formule x 2 +(y-p) 2 =p 2.Als je de haakjes wegwerkt krijg je x 2 +y2-2py+p 2 =p 2 vereenvoudigen geeft x 2 +y2-2py=0 gebruik je de omzetformule dan krijg je R 2 cos 2 ƒ¦+ R 2 sin 2 ƒ¦-2p Rsinƒ¦=0. Als je verder vereenvoudigt krijg je R 2 (cos 2 ƒ¦+sin 2ƒ¦)-2p Rsinƒ¦=0. Omdat cos 2ƒ¦+sin 2ƒ¦=1 krijg je R 2 -2p Rsinƒ¦=0. Door verder te vereenvoudigen krijg je de formule R 2 =2pRsinƒ¦. als je deze deelt door R krijg je R=2psinƒ¦.

Voor een cirkel met een middelpunt op de y-as met straal p die door het punt 0,0 gaat geldt het zelfde maar dan R=2pcosƒ¦.

Voor een Cirkel met een middelpunt die niet op een as ligt maar wel door 0,0 gaat geldt (x-p)2+(y-Q) 2 = p2+q2 vereenvoudigen geeft x2 -2px+p2+y2 -2qy+ q2 = p2+q2 dan kan je nog verder vereenvoudigen tot x2 -2px+ y2 -2qy=0. als je hier de omzetformules gebruikt krijg je R 2 cos 2 ƒ¦- 2pRcosƒ¦+R 2 sin 2 ƒ¦-2qRsin ƒ¦=0. Als je deze formule vereenvoudigt krijg je:R 2 (cos 2 ƒ¦+sin 2 ƒ¦)-2R(pcosƒ¦+qsinƒ¦)=0. als je weer vereenvoudigt krijg je R 2 - 2R(pcosƒ¦+qsinƒ¦)=0 als je alles door R deelt krijg je R-2(pcosƒ¦+qsinƒ¦)=0. Dus R=2(pcosƒ¦+qsinƒ¦)

HOE MAAK IK EEN VIERKANT MET MIDDELPUNT 0,0 IN EEN POLAIRE FUNCTIE?

De formule van een verticale rechte lijn is r=p/sinƒ¦ die van een horizontale lijn is R=p/cosƒ¦. Om het vierkant te krijgen heb je een formule nodig die op een half ƒÎ van formule veranderd. Hiervoor hebben we de INT functie, deze functie werkt zo dat je het getal achter de komma verwijderd. De reden dat we deze nodig hebben is omdat dit ervoor zorgt dat de enE helft van de formule soms wordt gebruikt en soms de Andere helft.
ƒ¦ tussen INT(ã(2) sinƒ¦) INT(ã(2) cosƒ¦)
-1/4ƒÎ&1/4ƒÎ 0 1
1/4ƒÎ&3/4ƒÎ 1 0
3/4ƒÎ&5/4ƒÎ 0 -1
5/4ƒÎ&7/4ƒÎ -1 0
Met deze tabel is bewezen dat met de Int functie de formule middenin kan veranderen en dat gebeurt dus bij het vierkant met
de formule:P/cos INT (ã(2)sin(ƒ¦))+ P/sinƒ¦ INT (ã(2)cos(ƒ¦))
hiermee kan je een vierkant maken zo groot als je wilt. P moet aan beide kanten van de formule gelijk zijn want anders krijg je een paar losse lijnen.

* dit kan ook geschreven worden als R=cosƒ¦/sin2ƒ¦ & R= sinƒ¦/cos2ƒ¦

Bronnen: Wiskundeboek getal en ruimte boek vwo b3
Isbn:90-11-08280-x