Pi

Inhoudsopgave

1.0 Voorwoord
2.0 De geschiedenis van
3.0 De definitie van
3.1 Eigenschappen van
4.0 Formules met
4.1 Formules om te benaderen
5.0 Rekenen met
6.0 Piphilologie
7.0 Conclusie

1.0 Voorwoord

Ik heb lang zitten piekeren over een onderwerp over wiskunde. Sommige waren te makkelijk, andere vond ik te langdradig worden en niet uitdagend. Ik wilde een onderwerp hebben, waarvan ik niets afwist en wat ook een beetje spannend is om te maken omdat je niet weet welke fouten je tegen kunt komen.
Het is het onderwerp Pi () geworden. Ik heb dit wel eens eerder in de laatste klas van de mavo gehad, maar vond het altijd een vrij moeilijk onderwerp. Was dit dan de uitdaging die ik zocht, zult u denken.
Ja, omdat ik hier vrij slecht in ben, maar toch geïnteresseerd ben in zulke onderwerpen wilde ik de gok wagen en mezelf overtreffen door te onderzoeken. Maar de uitdaging doet het hem niet alleen, ik wilde ook iets anders hebben dan de meeste klasgenoten om mijn cijfer omhoog te halen, waar een praktische opdracht natuurlijk een perfecte manier voor is.

In de wiskunde wordt de Griekse kleine letter als symbool gebruikt voor het getal dat de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter aangeeft. Deze wiskundige constante wordt ook wel de constante van Archimedes genoemd.
In getallen is  = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 375... De getallen gaan nog wel een tijdje door. Sinds de Oudheid jagen onderzoekers op de decimalen van  door de logica van de getallenreeks te doorgronden. Tegenwoordig worden de onderzoekers daarbij geholpen door computers. Steeds sneller slagen ze erin cijfers achter de komma te berekenen. De afgelopen 16 jaar zijn er al meer dan een miljard decimalen berekend. Maar intussen is er in die getallenreeks nog geen regelmaat ontdekt. En dat is wat het getal  zo fascinerend maakt.

2.0 De geschiedenis van

De Babeloniërs
Pi (is het meest beroemde getal in de wiskunde. De eerste waardes van pi (waaronder de bijbelse waarde van 3, zijn bijna zeker gevonden door metingen. Lange tijd werd er van uitgegaan dat Babyloniërs in Mesopotanië voor de oppervlakte van een cirkel drie keer het kwadraat van de straal namen. In 1936 (v. Chr.) echter heeft men in Susa, een paar honderd kilometer van Babylon, een aantal kleitabletten gevonden waar vanuit één van deze kleitabletten kan worden afgeleid dat de schrijver de waarde 3 + 1/8 heeft gebruikt om de oppervlakte van een cirkel uit te rekenen. In de tijd van de Babyloniërs had pi ( een waarde van 3,125.

De Egyptenaren
In het Egyptische Rhind Papyrus (Dit was een soort papieren rol met 87 wiskundige problemen en hun oplossingen, zie de afbeelding hiernaast), van ongeveer 1650 (v. Chr.) schreef een Egyptische priester genaamd Ahmes over pi (. Dit is wat hij schreef:

“De oppervlakte van een cirkel met een diameter van 9 eenheden = aan de oppervlakte van een vierkant met een zijde van 8 eenheden”.

Met deze formule kon hij de waarde berekenen met de volgende formule: pi ((9/2)² = 8² Als je dit goed berekend wordt de waarde voor = 3,16046.

De bijbel
Omdat de cirkel een veel voorkomend figuur is, vind je al in heel oude culturen waarden voor het getal pi. In de bijbel staat een passage waarin wordt verteld over de bouw van de tempel van koning Salomon. Hierin wordt beschreven hoe Hiram een enorme ketel van brons maakte (Koningen I, hoofdstuk 7:32). In de tekst wordt expliciet de waarde =3 gebruikt. Men was zich er in die tijd waarschijnlijk van bewust dat dit slechts een benadering was, en mogelijk kenden zij een betere waarde van . Het gaat om de volgende passage:

“Voorts maakte hij de zee, van gietwerk, tien el van rand tot rand, geheel rond, vijf el hoog, terwijl een meetsnoer van dertig el haar rondom kon omspannen”.

Hoewel er heel wat ophef over is geweest in de loop der tijd waarin geleerden zich het hoofd braken over de onnauwkeurigheid hiervan, is het praktisch gezien gewoon voldoende geweest in die tijd, gezien het weinig precieze ambachtswerk van toen.

Griekse oudheid
Archimedes van Syracuse (287 - 212 v. Chr.) is de grootste en beroemdste wis- en natuurkundige uit de Griekse Oudheid.

In één van zijn geschreven boeken vertelt hij over “Het opmeten van de
Cirkel”. In dit boek laat Archimedes zien dat de exacte waarde van de
omtrek van een cirkel met een diameter 1 ligt tussen de 223/71 en de 22/7. Hij berekende dit resultaat door de cirkel in te sluiten met behulp van regelmatige veelhoeken (met 96 zijden) kleiner en groter dan een cirkel

Hij vond een goede benadering van pi ( 3,140845<  <3,142857

De Chinese waarde
De Chinese waarde van pi (werd meestal uit gemakszucht op 4 gezet. In China waren er ook voldoende mensen die zich bezig hielden met de waarde van pi(Één van die mensen was Zu Chongzhi (480 na Chr.). Hij kwam met een waarde voor die pas 1000 jaar later werd verbeterd. Hij gebruikte 2 eerder bekende waarden enwel: 377/120 en 22/7 (De waarde van Archimedes). De waarde van Chongzhi werd berekend door de tellers en de noemers van elkaar af te trekken. Zu Chongzhi zei dat de waarde van pi(moest liggen tussen: 3.1415926 < pi( < 3.1415927.

Indiasche tijdperk
In het Indiasche tijdperk is weinig bekend over pi( of het moet ene Aryabhata (500 na Chr.) zijn geweest. Hij berekende pi(p) op een wel heel 'andere' manier.
Aryabhata gebruikte 62832 als de omtrek van een cirkel met een diameter van 20000,zodat hij pi(p) berekende met:
Zijn waarde voor p = 3,1416 werd veel in de Arabische wereld gebruikt.

Arabische tijdperk
Maar ook in de Arabische wereld heeft men pi (p) berekend, al duurde dat tot 1430 na Chr.
Een beroemde wiskundige in die tijd, Al-Kashi, heeft pi (p) ontzettend nauwkeurig weten te berekenen met de methode die Archimedes ook gebruikte, namelijk een regelmatige veelhoeken met 805306368
zijden i.p.v. de 96 zijden van Archimedes.
En zo kwam Al-Kashi met een waarde voor pi(p) van: 3,14159265358979

* Je ziet dat men vanaf nu pi (p) steeds nauwkeuriger wilde berekenen.

Europesche tijdperk
De Europese wiskundige lagen in die tijd ver achter.
Pas in de zestiende eeuw wisten de Europesche wiskundigen hun achterstand in te halen en vervolgens in een voorsprong om te zetten. Een van de eerste europeanen die zich met het getal pi (p) bezig hield was de Fransman François Viète (1593 na Chr.)
Ook hij gebruikte de Archimedes methode en berekende pi (p) met een regelmatige veelhoek met 393216 zijden. Hij kwam met een waarde van pi (p) die volgens hem moest liggen tussen:
3,1415926535< pi (p)< 3,1415926537
En dus stelde François Viète dat pi (p) een waarde moest hebben van: 3,1415926536

Nederlandse tijdperk
Eigenlijk zijn er geen Nederlanders geweest die zich met het juiste getal van pi (p) bezig hielden.
Toch was er een Duitser, Ludolph van Ceulen, die in 1594 in Leiden wiskunde gaf en dat daar bleef doen. Vandaar dat hij een beetje als Nederlander wordt gezien die in 1596 (na Chr.) ook via een regelmatige veelhoeken pi (p) tot op 35 decimalen achter de komma nauwkeurig wist te berekenen.
Zijn waarde voor pi (p) was dan ook: 3,1415926535897932384626433832795029

Vanaf dat tijdstip ging het er alleen nog maar om, om pi (p) zo nauwkeurig mogelijk te berekenen met vele cijfers achter de komma. Nu gebruikt men alleen nog maar computers, die pi (p) met zo'n 200000 miljoen cijfers achter de komma berekenen.

2.0 De geschiedenis van

Een regelmatige veelhoek is in de meetkunde een tweedimensionale figuur die bestaat uit een eindig aantal lijnstukken die allen dezelfde lengte hebben. Ieder eindpunt van een lijnstuk valt steeds precies samen met een eindpunt van precies een ander lijnstuk. De hoeken die elk paar lijnstukken met elkaar maakt zijn allen hetzelfde. Zie de afbeelding hieronder.

3.0 De definitie van
Een definitie van pi(p) is de omtrek van een cirkel gedeeld door zijn diameter. Het duurde even, maar vroege rekenaars ontdekten uiteindelijk dat er nog meer pi (p) in cirkels zit: ook de oppervlakte van een cirkel gedeeld door het kwadraat van de straal is pi (p).
Pi (p) heeft oneindig veel decimalen en begint als 3.1415926535... Op dit moment zijn al meer dan een biljoen decimalen van pi (p) berekend.
De notatie pi (p) is afkomstig van de beroemde wiskundige Euler, die gebruikte de letter pi (p) rond 1750. Hij gebruikte deze Griekse letter 'pi', om het woord perimeter mee aan te duiden. Perimeter is een ander woord voor omtrek.

Pi (p) is irrationeel. Dat wil zeggen dat je pi (p) niet kunt uitdrukken in een formule met getallen. We hebben wel formules waarmee je pi (p) kunt benaderen, hier kom ik verder in mijn praktische opdracht op terug.

3.1 Eigenschappen van
Een van de intrigerendste eigenschappen van pi (p) is dat het een normaal getal lijkt te zijn: de decimalen volgen elkaar op in een oneindige, volstrekt willekeurige reeks. Hoe intelligent er ook gezocht is, geen mens heeft tot nu toe in de cijferbrij ook maar enig systeem kunnen ontdekken. Aan decimalen geen gebrek: inmiddels is pi (p) tot op tientallen miljarden cijfers achter de komma bekend. Maar altijd zijn er decimalen die we (nog) niet weten dus zolang p's normaliteit niet bewezen is, blijven speculaties over verscholen orde mogelijk.

p's normaliteit mag een open vraag zijn, twee andere eigenschappen zijn met zekerheid vastgesteld. Al in 1761 bewees Lambert wat collega's allang vermoedden:
- pi (p) is irrationaal en dus niet te schrijven als een breuk, bijvoorbeeld ½.. (wiskundig geformuleerd: er bestaan geen gehele getallen p en q zo, dat p/q=pi)
En vervolgens bewees Von Lindemann in 1882
- dat pi (p) trancendentaal is, wat betekent dat het getal niet de oplossing kan zijn van vergelijkingen als 3x³-6x+23=0 . Om te begrijpen wat dit betekent, moet je eerst weten wat een veelterm is. Een veelterm is een uitdrukking van de vorm a+bx+cx^2+dx^3+... . De symbolen a, b, c en d heten in dit geval de coëfficiënten van de veelterm. Een nulpunt van een veelterm is een getal p, waarvoor geldt dat a+bp+cp^2+dx^3+...=0. Bijvoorbeeld is 1 een wortel van de veelterm -2-x+2x^2+x^3-x^4+x^5, want als je x=1 invult komt er nul uit de uitdrukking. De uitspraak p is transcendent, betekent dat er geen veelterm bestaat waarvan p een nulpunt is en waarvan alle coëfficiënten een breuk zijn.

Een enkele andere eigenschap waarvan vele vermoeden dat p daaraan voldoet is de volgende, (deze is echter nooit bewezen):
- Pi is een universeel getal. Dit betekent dat als je een willekeurig rijtje getallen bedenkt, bijvoorbeeld je pincode of je geboortedatum, en je vervolgens maar lang genoeg in de decimalen van pi zoekt, je dit rijtje altijd kunt vinden.

4.0 Formules met

In de meetkunde hebben formules waarin p voorkomt meestal met een cirkel, ellips of bol te maken.

Cirkel met straal r

Hoek 360º = 2 p rad
Omtrek O = 2 p r
Oppervlakte A = p r2

Ellips met halve assen a en b

Oppervlakte A = p a b

Bol met straal r

Oppervlake A = 4 p r2
Inhoud V = (4/3) p r3

Kegel met grondvlakstraal r en hoogte h

Inhoud V = (1/3) pr2 h
Oppervlakte A = p r (r + √ (h2 + r2 ) )

4.1 Formules om te benaderen

Onder een benadering voor een grootheid verstaat men in de exacte wetenschappen een getalswaarde die voor een bepaald praktisch doel voldoende dicht in de buurt ligt van de exacte waarde van die grootheid. Zo zal het voor een timmerman in elke praktische situatie voldoende zijn de waarde 22/7 als benadering voor het getal p te gebruiken.

Benaderingen worden gebruikt bij:
- wanneer de exacte waarde niet bekend is, bijvoorbeeld bij natuurkundige grootheden
- wanneer de exacte waarde niet in eindig veel cijfers is uit te drukken, zoals bij het getal pi
- om een probleem te vereenvoudigden, zonder veel aan nauwkeurigheid in te boeten

Benaderingen voor π zijn 22/7 en (veel beter) 355/113. De benadering van π in 100 decimalen is:
p = 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679

Bij berekeningen aan cirkels en bollen treffen we het getal p aan.
Uitgaande van een straal R is:

omtrek cirkel 2R
oppervlakte cirkel R2
oppervlakte bol 4R2
inhoud bol (4/3)R3

p is ongeveer 3,141592654.....maar er bestaat geen getal, dat precies gelijk is aan p.
Daarom wordt in formules ook liever p gebruikt dan 3,14...Je kunt dan net zoveel decimalen
invullen als nodig is voor de gewenste nauwkeurigheid. p is alleen te benaderen: hoe meer rekenwerk we er voor over hebben, hoe nauwkeuriger het resultaat.

Er zijn zoveel benaderingen voor p. Ik heb er een paar van uitgekozen, de rest is te vinden in hoofdstuk 2.0, bij de geschiedenis verwijs ik namelijk ook naar de benaderingen van de wiskundigen.

De benadering van Archimedes
Een intuïtief duidelijke methode om p te benaderen is die van Archimedes. Van de afbeelding met een vierkant en een zeshoek wordt duidelijk dat p tussen 3 en 4 ligt. Dat klinkt niet bijster spectaculair (is het ook niet), maar je kunt van zeshoeken naar twaalfhoeken, twintighoeken en zesennegentighoeken. Op deze manier kun je, als je heel veel tijd hebt, systematisch een steeds betere benadering van p vinden. Archimedes ging van zes- naar zesennegentighoek. Hij vond 223/71 < p < 22/7.

Benadering van Leibniz
De ontdekking van de differentiaal- en integraalrekening door Newton en Leibniz zorgde voor nieuwe methoden om p te berekenen. Het getal wordt dan geschreven als een oneindige som. De bekendste is wel die van Leibniz:

De reeks lijkt in eerste instantie handig omdat je alleen maar breuken hoeft uit te rekenen, en niet hoeft te worteltrekken. Hij is echter helemaal niet handig, kijk maar eens hoeveel termen je moet uitrekenen om een beetje een schappelijke benadering te krijgen.

Benadering van Euler
De formule van Euler legt een verband tussen de exponentionele functie en de trigonometrischex, waar e het grondtal is van de natuurlijke logaritme. Het getal e is bij benadering gelijk aan 2.71828…. De exponentionele functie komt veelvuldig voor in de wiskunde en ook in andere wetenschappen, waar hij opduikt in processen als populatiegroei, samengestelde interest en radioactief verval. De formule van Euler stelt ons in staat om een complex analogon te vinden van exp x, sin x en cos x.
De formule van Euler luidt: eix = cos x + i sin x
Kiezen wij in de formule van Euler voor x de waarde p , dan resulteert de volgende verrassende gelijkheid: ei.pi = cos p+ i.sin p = –1
Edit: Grondgetal e moet je op je rekenmachine met radialen werken anders klopt het niet

5.0 Rekenen met

Ik verwijs momenteel even naar hoofdstuk vier waarin ik al de formules heb gegeven hoe ik bijvoorbeeld de omtrek en de oppervlakte van een cirkel kan berekenen:
Omtrek= p x diameter = 2 x p x straal
Oppervlakte= ¼ x p x diameter² = p x straal²

Ik heb daarom een paar voorbeeldsommen in mijn P.O toegevoegd die ik heb berekend. Het zijn niet de meest ingewikkeldste maar zeker wel een stapje in de goede richting.

1. Een cirkel heeft de omtrek van 16 x p. Bereken de oppervlakte van de cirkel.

Formule omtrek is: p x diameter.
Diameter is dus 16. Straal is dan 16/2= 8 cm.
Formule oppervlakte is: p x straal²
p x 8²= 201.0619 cm²

2. Een cirkel heeft een oppervlakte van 16 x p. Bereken de omtrek van de cirkel.

Formule oppervlakte is: p x straal²
Hier is het p x 16.
√16 = 4. 4 =straal.
2 x 4 = 8 = diameter.
Formule omtrek is: p x diameter
Omtrek =p x 8 = 25.1327 cm

6.0 Piphilologie

Er bestaat een heel onderzoeksgebied naar het gebruik van mnemotechnieken om de cijfers van p te onthouden. Dit onderzoek staat bekend als ''Piphilologie''. Het woord is een duidelijk woordspeling op p zelf en het linguïstische onderzoeksgebied filologie (Engels: philology).

Het bekendste voorbeeld van een ezelsbruggetje/ geheugensteuntje voor de cijfers van p komt van Isaac Asimov:

''How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!''

In dit voorbeeld staat het aantal letters in ieder woord voor de opeenvolgende cijfers van p: 3,141.592.653.589.79. Er zijn piphilologisten die gedichten hebben geschreven om meer dan 100 cijfers te coderen.
Een Nederlands voorbeeld (de ''ij'' telt voor één letter):

''Wie p voor 't eerst berekende hij sterft nooit!''

Of:

''Wie u eens p heeft verzonnen in aloude tijden
was nooit begonnen inderdaad spoedig geëindigd
als hij had ingezien welk gezeur de cijfers bien''

7.0 Conclusie

Voordat ik aan mijn praktische opdracht begon had ik geen flauw idee dat p al zó oud was. Dat mensen er toen al benaderingen voor hadden. Wat mij dan weer fascineert, waarom is er nooit een precieze berekening gevonden? Waarom hebben al deze mensen nooit de precieze waarde van p kunnen vinden. Ik zou dit natuurlijk kunnen gaan onderzoeken, maar doordat ik geen wiskunde knobbel heb, zal ik dit niet proberen.
De waarde van p is dus nog nooit gevonden. Het is eigenlijk wel merkwaardig hoe weinig wij hier eigenlijk van af weten. We kunnen enkele biljoenen getallen achter de komma plaatsen voor p maar we weten er eigenlijk nog maar heel weinig vanaf.
We zijn dus nog niet zo ver om p te berekenen maar we hebben wel genoeg formulas van bekende wiskundigen waarmee we p kunnen benaderen. Denk maar eens aan de benaderingen van Archimedes waar ik het in hoofdstuk 4.1 over heb gehad of de benadering van Leibniz. Stuk voor stuk zijn het goede benaderingen die er iedere keer net iets naast zitten, maar toch is de één altijd beter dan de ander.
Maar doordat er zoveel getallen zijn, kunnen wij eigenlijk niet onthouden wat p voor getallen heft na de komma, dus hebben we daar ezelbruggetjes voor. In hoofdstuk 6 citeer ik er enkele.