Fractals

Inleiding

Voor wiskunde B-1 moesten we in groepjes van 2 of 3 personen een Praktische Opdracht maken over het wiskundige verschijnsel fractals. We kregen hierbij een folder uitgereikt met daarin informatie over fractals en de onderzoeksvraag. In deze folder stonden ook verschillende voorbeelden van fractals, zodat je een idee kreeg wat het was. Ik had er zelf namelijk nog nooit van gehoord, en ook mijn andere groepsleden wisten niet wat het was. Ook kregen we een vel waarop verschillende deelvragen stonden waarvan we er minstens één moesten opnemen in ons verslag. Op dit vel stonden ook verschillende websites waar wij veel aan hebben gehad, omdat je toch een aanknoopspunt moet hebben. Als je echter eventjes zocht op het internet bleek er een schat aan informatie te zijn over dit onderwerp. Er zijn ook veel programma’s te vinden op internet, waarmee je zelf fractals kunt maken, dit is best leuk om een keer te zien.
Uiteindelijk moesten we dus minstens 2 deelvragen verzinnen die een onderdeel waren van de hoofdvraag. Wij hebben er 3 gemaakt en de deelvraag die was gegeven.

Onderzoeksvraag: Hoe ontstaan fractals en wat is hun functie in de natuur?
Deelvragen: 1. Wat is de geschiedenis en oorsprong van fractals?
2. Wie is de peetvader van de fractals?*
3. Wat is de dimensie van een fractal?
4. Wat zijn de meest voorkomende toepassingen van fractals in de natuur?
*: Dit is de gegeven deelvraag door de leraar.

Wij hopen dat u met plezier onze Praktische Opdracht zult lezen en wij hopen dat wij hem voldoende hebben uitgewerkt.

Met vriendelijke groet,

Frank
Rose-Marie
Michael

De geschiedenis en oorsprong van Fractals

Sinds mensenheugenis kampen wiskundigen met complexe problemen en formules. Naargelang hun kennis toenam, groeide ook de complexiteit van hun problemen. Niet-lineaire problemen, niet-evenwichtige systemen en dynamische systemen deden hun intrede in de wiskunde. Chaos werd een begrip op zich en niet iets dat men moest proberen te vermijden. Fractals legden hier de basis om deze complexe niet-lineaire problemen te beschrijven. De naam fractal is afgeleid van het Latijnse woord frangere wat breken betekent en dus onmiskenbaar verwijst naar de gebroken dimensie van deze figuren.
Een van de bekendste en eerste wetten over deze verschijnselen was van de Belgische wiskundige Pierre François Verhulst in verband met de wisseling van bevolkingsaantallen in 1845. Afhankelijk van de groeiratio groeide een bevolking naar verschillende stadia. Verhulst had een niet-lineair model ontwikkeld dat het dynamische gedrag kon voorstellen.
Jaren later, in 1963 werd de theorie van Verhulst toepasbaar bewezen voor een groot domein van fenomen: hydrodynamica (turbulente stromingen), laserfysica, kinetica van chemische reacties. Experimenten bevestigden het model van Verhulst. Verhulst legde hiermee dus de basis van de fractals, al wist hij dat zelf niet. Fractals zijn namelijk ook heel dynamisch en kunnen heel goed verbanden aantonen, en dat wilde Verhulst ook.
Toen gebeurde alles nog op papier en in het hoofd van de wetenschappers. Later deed echter de computer zijn intrede. Voornamelijk de mogelijkheid om zeer snel en accuraat grafieken te genereren was iets dat de wetenschappers wisten te gebruiken. Het is trouwens een volwaardige onderzoekstak geworden. Namelijk de onderzoeksgroep computergraphics. Deze onderzoeksgroep onderzoekt de tekeningen van een computers en probeert daar de verbanden uit te halen, zij doen dit met behulp van fractals.
Verhulst had eigenlijk orde gebracht in chaos door de grens tussen chaos en orde in kaart te brengen. Maar ook dit had hij zelf niet door. Door hem was er wel ineens veel meer duidelijkheid over niet-lineaire processen, zoals bevolkingsgroei. Het was dan ook in zekere zin de oorsprong van de chaostheorie. In 1980 slaagde Benoit Mandelbrot erin de principes achter de verschillende scenario\'s bloot te leggen. Deze verzameling wordt dan ook tegenwoordig de Mandelbrot-verzameling genoemd. Voor de wiskundigen is de verzameling heel belangrijk: de Mandelbrot-verzameling belichaamd namelijk een principe van een overgang van orde naar chaos in een zeer algemene zin.

Wie was de peetvader van de fractals en vertel kort iets over hem.

De peetvader van de fractals wordt toch meestal wel Benoit Mandelbrot genoemd. Hij was wel niet de eerste die de fractals echt ontdekt heeft, dat was immers Helge von Koch. Deze Helge von Koch heeft namelijk het eerste figuur uitgevonden, dat een dimensie heeft tussen de 1 en de 2. Deze figuur, die de ‘kromme van Koch’ genoemd wordt, is eigenlijk een lijn, maar hij de uiteinden komen zo dicht bij elkaar dat het bijna een vlak is. Door steeds de zelfde bewerking te herhalen, wordt een lijn bijna een vlak.
Mandelbrot heeft er echter veel meer ermee gedaan, hij heeft ook een hele collectie Mandelbrot-figuren, de Mandelbrot-set. Hij is de grondlegger van een nieuwe tak van de wiskunde: de fractale geometrie. De Mandelbrot-set bestaat onder ander uit een fractal, die een rand heeft, die zo oneindig gedetailleerd is en daardoor een dimensie heeft die tussen de 1 en 2 ligt. In 1980 kwam Mandelbrot voor het eerst met een ontdekking, hij ontdekte toen namelijk de principes, waardoor de chaos theorie bloot kwam te liggen. Dit werd de basis voor de nieuwe tak van de wiskunde de fractaal meetkunde. De figuren van Mandelbrot in de Mandelbrot-set zijn zo ontzettend gecompliceerd dat je ze zo niet begrijpt. Je moet elke keer inzoomen om er een verband in te zien. Dit verband is de scheidingslijn tussen chaos en orde. Deze collectie is voor wiskundigen dus heel belangrijk. De Mandelbrot-figuren zijn elke keer kopienen van zichzelf alleen in een groter vak. Op verschillende website kan je steeds verder inzoomen op een figuur, uit de Mandelbrot-set, en dan zie je pas dat het echt tot het oneindige doorgaat. Dit is ook de basis van alle fractals, steeds herhaling van dezelfde bewerking.
Op de website www.fractal.nl kun je op een heel bekende figuur van Mandelbrot; het appelmannetje, steeds verder inzoomen. Dit is er mooi en dan zie je pas hoe ver het gaat.

De dimensie van een fractal

De perfecte punt heeft nul dimensies, geen lengte en geen breedte. Een perfecte lijn heeft 1 dimensie,alleen de lengte. Een perfect vlak heeft 2 dimensies, lengte en breedte. En een ruimte heeft 3 dimensies, lengte, breedte en hoogte. Als je uitgaat een Koch curve begin je met een dimensie 1, het figuur begint er echter steeds meer als een vlak uit te zien. Als voorbeeld om dit uit te leggen gebruiken wij een andere fractal een andere fractal van Sierspinski, de zeef van Sierspinski. Deze gaat uit van een driehoek, die in 4 gelijke delen wordt gesplitst. Het middelste stuk wordt weggelaten en dit wordt met de nu verkregen driehoeken herhaald.

Van elke originele driehoek blijven 3 kleinere driehoeken over waarvan de zijden 2 keer zo klein zijn. Aan de vermenigvuldigingsfactor wordt de letter N toegeschreven, die is dus in dit geval 3. De verkleiningsfactor noemen we K. Bij fractals is dit uiteraard gelijk aan de vergrotingsfactor maar in de formule gaan we uit van de verkleiningsfactor omdat dit geen negatieve dimensies geeft. Door de uit- en inzoommogelijkheden van een fractal maakt dit niks uit. Dit leidt tot de volgende formule:

N = KD  log N = log KD  D log K = log N  D =

D is de dimensie van de fractal. Bij de Sierspinski-driehoek betekent dit dus dat

D = = 1,58

Op dezelfde manier is het ook te berekenen wat de dimensie van het Sierspinski-tapijt te berekenen. Dit blijkt dan neer te komen op een dimensie van 1,89. Het verschil in dimensies wordt veroorzaakt door het verschil in de snelheid waarmee de oppervlakte afneemt.

Even terugkomend op het tapijt van Sierspinski, dat is een vierkant, verdeeld in 9 even grote vierkantjes. Daarvan is de middelste weggehaald.
K=3, N=8 D=log8/log3=1,89
Zo heb je ook de spons van Menger, het tapijt van Sierspinski in 3D:

Simpeler voorgesteld:

Je neemt een kubus (linker plaatje), verdeelt de kubus in 27 gelijke kubussen en laat 7 kubussen weg (het middelste plaatje).
De figuur die zo ontstaat, bestaat uit 20 kleinere kubussen (middelste plaatje).
Nu nogmaals met elke kubus die zojuist ontstaan is: verdeel de kubus in 27 gelijke kubussen en haal er 7 weg, enz, enz. (rechter plaatje).

Wat is nu de dimensie van deze fractal?
K = 3 (steeds 3 keer zo kleine kubusjes)
N=20 (steeds 20 over van de originele)

D = = log20/log3 ~ 2,7268

Dus de dimensie van de spons van Menger is 2,72.

En dan nu de beroemde Koch curve.
De kromme ontstaat door steeds elk lijnstuk in drie gelijke stukken te verdelen. Het middelste stuk wordt weggelaten en er worden twee evengrote lijnstukken toegevoegd. Daardoor word elke keer de lengte van elk lijnstuk 3 keer zo klein, maar de totale lengte van de \"kromme\" 4/3 keer zo groot.

K=3 (steeds 3 keer zo kleine lijnstukjes), N=4 (steeds 4 over van de eerst 3 lijnstukjes), D=log4/log3=1,26

Meest voorkomende toepassingen van fractals in de natuur

Hoewel men het op het op het eerste zicht niet zou zeggen zijn vele zaken uit de natuur voorstelbaar via fractals. We gaan hier enkele aanhalen en ze een beetje toelichten.

• Landschappen kunnen door fractals zeer goed worden voorgesteld. Fractals kunnen ook gebruikt worden om eigenschappen van landschappen te berekenen, zoals de kustlijn van Groot-Brittannië.
• Bepaalde slakkenhuizen van dieren kunnen ook door fractals worden voorgesteld. Meestal gaat het dan om de logaritmische spiraal. Dit is wel geen echte fractal, maar het is toch ook een wiskundige benadering van de werkelijkheid.
• Ook bepaalde fenomenen uit de natuur zijn zeer goed voorstelbaar door fractals, bijvoorbeeld de bliksem.
Landschappen
Landschappen kun je op verschillende manieren benaderen. In de eerste methode starten we met een grote basisdriehoek. Op elk hoekpunt kiezen we willekeurig een hoogte. We verdelen deze driehoek dan in vier deeldriehoeken. Hierdoor ontstaan drie nieuwe hoekpunten.Daar wordt opnieuw de hoogte van bepaald via interpolatie van zijn onmiddellijke buren.. Deze procedure herhalen we. Dit levert ons in een volgende stap 16 kleinere driehoeken en 9 nieuwe hoekpunten waarvan we de hoogte weer op dezelfde manier bepalen. Onderstaande figuur geeft een overzicht :

Een andere methode werkt niet via driehoeken, maar met vierkanten. Elke nieuw vierkant is half zo klein als het voorgaande. Hierbij wordt de hoogte van het middelpunt berekend door interpolatie over zijn vier dichtste buren: zijn eigen hoekpunten. Ook hier kijken we verder over steeds kleinere vierkanten. Een voorbeeld van het resultaat wordt gegeven in de volgende figuur:

Kustlijn
Als men de lengte een kustlijn wilt berekenen doet men dat meestal via de Kromme van Koch (zie startvraag 1). De lengte hiervan is simpel afleidbaar uit zijn constructie. Als we stellen dat de lengte van een nulde orde kromme 1 is, dan is de lengte van de eerste orde kromme 4 maal 1/3 of 4/3. Voor een tweede orde zijn dit dan 16 lijnstukken van lengte 1/9. De totale lengte van de Koch kromme is dus :
(4/3) n =
(n is de hoeveelste kromme)

Zoals je ziet de uitkomst als je lang doorgaat oneindig, en dat kan natuurlijk niet als men kijkt naar kustlijnen. Daarom klopt het ook niet helemaal. Het zijn maar benaderingen. In de werkelijkheid bereken we via geografische kaarten die we hebben hoelang de kustlijn is. Hoe beter de kaart is hoe beter de benadering. In de volgende afbeelding zie je een voorbeeld daarvan.
Aantal zijden Nauwkeurigheid (km) Lengte (km)
6 500 3000
12 258.82 3106
24 130.53 3133
48 65.40 3139
96 32.72 3141
192 16.36 3141

De startvragen

1. Hoe lang is het gebroken lijnstuk van K1?
2. Hoe lang is het gebroken lijnstuk van K2?
3. Geef een uitdrukking in ‘N’ voor de lengte van het gebroken lijnstuk bij de ‘n-de orde’ benaderingen Kn.

1. K0:
K1:
K2:
K3:
K100:

Antwoorden
K0 wordt voorgesteld als 1.

1. K1 is dan: 1/3 x 4 = 4/3

2. K2 is dan (1/3)² x 4² = 16/9

3. Kn is dan (1/3) n x 4 n = (4/3) n

Conclusie

Wij hebben geconcludeerd dat er in de natuur tal van fractals te vinden zijn. Fractals zijn moeilijk te beschrijven en hebben de tijd nodig wil je ze begrijpen. Mandelbrot, Julia, en Koch zijn naar ons idee de belangrijkste personen in de geschiedenis van de fractals. Zij zijn er zeer diep op in gegaan en hebben veel ontdekt.
Fractals ontstaan uit de herhaalde toepassing van wiskundige formules die complexe getallen bevatten zoals sinus en cosinus. Zo ontstaan de kromme van Koch en de driehoek van Sierpinski.
Fractals komen niet of bijna niet volledig in de natuur voor. Wel worden ze gebruikt om schattingen te maken van een lengte of oppervlak.

Bronvermelding

http://www.math.umass.edu/~mconnors/fractal/sierp/sierp.html
http://www.pandd.demon.nl/complex1/julia_fractaal.htm
http://www.geocities.com/fractals_nl/
http://home.wxs.nl/~philip.van.egmond/wiskunde/wisk1-n.htm
http://www.erdogivae.com/

http://134.58.34.50/Fractals/chaos_in_beeld.html
http://134.58.34.50/Fractals/gemeenschappelijke_basis.html
http://134.58.34.50/Fractals/verhulst.html
http://134.58.34.50/Fractals/mandelbrot.html
http://www.cs.kuleuven.ac.be/cwis/research/graphics/graphics-E.shtml
Encarta