Uitwerkingen wi vwo B1 H1 Vergelijkingen en ongelijkheden
1. I , II , IV , V
2.
a. x2 + 6 = 5x Û x2 - 5x + 6 = 0 Û (x – 3)(x – 2) = 0 Û x = 3 Ú x = 2
b. x(x – 1 ) = 12 Û x2 – x – 12 = 0 Û (x – 4)(x + 3) = 0 Û x = 4 Ú x = -3
c. 2x2 = 5x Û 2x2 – 5x = 0 Û x(2x – 5) = 0 Û x = 0 Ú 2x = 5 Û x = 0 Ú x = 2,5
d. x = x2 Û x2 – x = 0 Û x(x – 1) = 0 Û x = 0 Ú x = 1
e. x 2 = 11 Û x = Ö11 Ú x = -Ö11
f. x2 + 4 = 1 Û x2 = -3 Dit kan niet Þ geen oplossingen
3a. 3x2 – 6x = 24 Û x2 – 2x -8 = 0 Û (x-4)(x + 2) = 0 Û x = 4 Ú x = -2
b. 3x2 – 6x = -3(x – 6) Û 3x2 – 6x = -3x + 18 Û 3x2 – 3x – 18 = 0 Û x2 – x – 6 = 0 Û
(x – 3)(x + 2) = 0 Û x = 3 Ú x = -2
c. 2x2 – 3x = 2 Û 2x2 – 3x – 2 = 0 Þ D = (-3)2 – 4 . 2 . (-2) = 25 Þ
Û x = 2 Ú x = -0,5
d. 0,5x2 – 2x – 6 = 0 Û x2 – 4x – 12 = 0 Û (x – 6)(x + 2) = 0 Û x = 6 Ú x = -2
e. x2 – 3x = 5(x – 3) Û x2 – 3x = 5x – 15 Û x2 – 8x + 15 = 0 Û (x – 5)(x – 3) = 0 Û x = 5 Ú x = 3
f. 2x2 – 5x = 3x Û 2x2 – 8x = 0 Û 2x(x – 4) = 0 Û x = 0 Ú x = 4
4a. 6 – x2 = -2 Û x2 = 8 Û x =Ö8 Ú x = -Ö8
b. 2x2 = 9x + 5 Û 2x2 – 9x – 5 = 0 Þ D = 81 – 4.2.(-5) = 121 Þ
Û x = 5 Ú x = -0,5
c.
d.
e.
f.
4x = 6 Ú 4x = 4 Û x = 1,5 Ú x = 1
5a. x2 – 5x = 0 Û x(x – 5) = 0 Û x = 0 Ú x = 5
b.
c. x2 – 5 = 14 Û x2 = 19 Û x = Ö19 Ú x = -Ö19
d. D =
(-14)2 – 4.1.(-5) = 216 Þ
e. (2x – 1)(3x + 6) = 0 Û 2x = 1 Ú 3x = -6 Û x = 0,5 Ú x = -2
f. (2x – 1)(3x + 6) = 9x Û 6x2 + 12x – 3x – 6 = 9x Û 6x2 – 6 = 0 Û x2 = 1 Û x = 1 Ú x = -1
g. (2x – 1)3x = 6 Û 6x2 – 3x = 6 Û 6x2 – 3x – 6 = 0 Û 2x2 – x – 2 = 0 Þ D = (-1)2 – 4.2.(-2) =
17 Þ x =
h. (2x – 1).3x = 6 – 9x Û 6x2 – 3x = 6 – 9x Û 6x2 + 6x – 6 = 0 Û x2 + x – 1 = 0 Þ D = 5
6.
a. (x + 3)2 = 16x Þ x2 + 6x + 9 = 16x Û x2 – 10x + 9 = 0 Û (x – 9)(x – 1) = 0 Û
x = 9 Ú x = 1
b. (2x + 3)2 = -16 kan niet Þ geen oplossingen
c. 2.(x + 3)2 = - 4x Û (x + 3)2 = -2x Û x2 + 6x + 9 = -2x Û x2 + 8x + 9 = 0 Þ D = 64 – 36 =28 Þ
x =
d. (2x + 3)(4 – x) = 9 Û 8x – 2x2 + 12 – 3x = 9 Û 2x2 - 5x – 3 = 0 Þ D = 25 – 4.2.(-3) = 49
Û x = 3 Ú x = -0,5
e. (-4x + 3)2 = 36 Û -4x + 3 = 6 Ú -4x + 3 = -6 Û -4x = 3 Ú -4x = -9 Û x = -0,75 Ú x = 2,25
f. -4(x + 3)2 = 4x Û (x + 3)2 = -x Û x2 + 6x + 9 = -x Û x2 + 7x + 9 = 0 Þ D = 49 – 36 = 13 Þ
g. x2 –(x + 1)2 = (x + 3)2 Û x2 – (x2 + 2x + 1) = x2 + 6x + 9 Û -2x – 1 = x2 + 6x + 9 Û
x2 + 8x + 10 = 0 Þ D = 64 – 4.1.10 = 24 Þ x =
h. (x + 3)2 + (x + 2)2 = 25 Û x2 + 6x + 9 + x2 + 4x + 4 = 25 Û 2x2 + 10x +13 – 25 = 0 Û x2 + 5x -6 = 0 Û (x + 6)(x – 1) = 0 Û x = -6 Ú x = 1
7. Gegeven : x2 + px – 6 = 0
a. p = -1 Þ x2 –x – 6 = 0 Û (x - 3)(x + 2) = 0 Û x = 3 Ú x = -2
b. p = 2 Þ x2 + 2x – 6 = 0 Þ D = 4 – 4.1.(-6) = 28 > 0 Þ 2 oplossingen.
c. x2 + px – 6 = 0 Þ D = p2 – 4 . 1 . (-6) = p2 + 24 Deze laatste waarde is voor alle waarden van p groter dan 0 omdat p2 een kwadraat is , geldt dus dat een kwadraat + 24 zelfs groter of gelijk is aan 24. Þ Deze vergelijking heeft dus voor alle waarden van p twee
x-oplossingen.
8.
a. 2 oplossingen Þ D = 49 - 4.1.p > 0 Û -4p > -49 Û p < 12,25
b. 2 oplossingen Þ D = 25 – 4.2.(-p) > 0 Û 8p > -25 Û p > -3,125
c. 2 oplossingen Þ D = 16 – 4.(-3).(-p) > 0 Û -12p > -16 Û p <
d. 0,25x2 – 3x + p = 0 2 oplossingen Þ D > 0 Þ 9 – 4.0,25.p > 0 Û -p > -9 Û p < 9
9a. x2 + px + 25 = 0 2 oplossingen Þ D > 0 Û
p2 – 4.1.25 > 0 Û p2 – 100 > 0
p2 = 100 Û p = -10 Ú p = 10 schets :
Aflezen Þ p < -10 Ú p > 10
b. x2 + px + 4 = 0 geen oplossingen Þ D < 0 Û
p2 – 4 . 1 . 4 < 0 Û p2 – 16 < 0 Nulpunten : p = 4 of p = -4
Schets en dan aflezen Þ -4 < p < 4
c. -2x2 + px + 3 = 0 D = p2 – 4.(-2).3 = p2 + 24 > 0
Een kwadraat + 24 is altijd groter dan 0 Þ geen oplossingen.
10a. Gegeven : x2 + 2x + p= 0 x = 1 is een oplossing Þ 1 + 2 + p = 0 Û
p = -3 Þ
x2 + 2x -3 = 0 Û (x + 3)(x – 1) = 0 Û x = -3 Ú x = 1 Þ De 2e oplossing is dus -3.
b. px2 – 11x + 10 = 0 x = 2 is een oplossing Þ 4p – 22 + 10 = 0 Û 4p = 12 Û
p = 3.
De vergelijking wordt nu : 3x2 – 11x + 10 = 0 Þ D = 121 – 4.3.10 = 1 Þ
Ú x = 2 Þ p =3 en de andere oplossing is .
11. Gegeven: px2 + 3x + 1 = 0
a. p = 0 Þ 3x + 1 = 0 Þ 1e graadsvergelijking Þ 1 oplossing.
b. Twee oplossingen Þ D > 0 Û 9 - 4p > 0 Û -4p > -9 Û
p < 2,25
Uit onderdeel a volgt dat voor p = 0 er maar 1 oplossing is. Þ p < 2,25 en p ¹ 0.
12a. px2 + 5x + 2 = 0 Twee oplossingen Þ D > 0 Û 25 – 4.p.2 > 0 Û -8p > -25 Û
p < 3,125
Als p = 0 , dan eerste graadsvergelijking Þ 1 oplossing . Conclusie p < 3,125 en p ¹ 0.
b. px2 – 3x – 4 = 0 Twee oplossingen Þ D > 0 Û 9 -4.p.(-4) > 0 Û 16p > -9 Û
p >
Bij p = 0 hebben we weer 1 oplossing (1e-gr. verg) Conclusie : p > en p ¹ 0.
13a. 2x2 + x + p = 0 Geen oplossingen Þ D < 0 Û 1 – 4.2.p < 0 Û -8p < -1 Û p > 0,125
b. px2 + x + p = 0 Twee oplossingen Þ D > 0 Û 1 – 4p2 > 0 Þ nulpunten : 4p2 = 1 Û
2p = 1 of 2p = -1 Û p = 0,5 of p
= -0,5 Þ
-0,5 < p < 0,5 Als p = 0 dan weer 1 oplossing (1e-gr. verg)
Conclusie : -0,5 < p < 0,5 en p¹ 0.
14a. px2 + 6x + 9 = 0 1 oplossing Þ D = 0 Û 36 – 4p.9 = 0 Û
36p = 36 Û
p = 1
Als p = 0 dan ook 1 oplossing (1e-gr. verg) Conclusie: p = 0 Ú p = 1.
Als p = 1 dan x2 + 6x + 9 = 0 Û (x + 3)2 = 0 Û
x = -3
Als p = 0 dan 6x + 9 = 0 Û 6x = -9 Û x = -1,5
b. x2 + px + 1 = 0 1 oplossing Þ D = 0 Û p2 – 4.1.1 = 0 Û p2 = 4 Û p = 2 Ú p =
2
Als p = 2 dan x2 + 2x + 1 = 0 Û (x + 1)2 = 0 Û
x = -1.
Als p = -2 dan x2 – 2c + 1 = 0 Û (x – 1)2 = 0 Û x = 1.
15a. x3 = 10 heeft 1 oplossing en x3 = -10 heeft ook 1 oplossing.
b. x4 = 10 heeft twee oplossingen en x4 = -10 heeft nul oplossingen. ( want x4 ³ 0)
16.a.
|
x |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
|
3 |
9 |
27 |
81 |
243 |
729 |
|
4 |
16 |
64 |
256 |
1024 |
X |
|
5 |
25 |
125 |
625 |
X |
X |
|
6 |
36 |
216 |
X |
X |
X |
|
7 |
47 |
343 |
X |
X |
X |
|
8 |
64 |
X |
X |
X |
X |
|
9 |
81 |
X |
X |
X |
X |
17.
a. x6 = 20 Û
b. 5x3 = 135 Û x3 = 27 Û x = 3
c. 0,5x5 = 20 Û x5 = 40 Û x =
d. x4 + 7 = 88 Û x4 = 81 Û x = 3 Ú x = -3
e. 1 - 3x5 = 97 Û -3x5 = 96 Û x5 = -32 Û x = -2
f. x8 + 3 = 10 Û x8 = 7 Û x8 = 28 Û x = Ú x =
18
a. 5x4 – 1 = 4 Û 5x4 = 5 Û x4 = 1 Û x = -1 Ú x = 1
b. 5x4 = -4 Û x4 = -0,8 Þ geen oplossingen
c. 5x3 -1 = 9 Û 5x3 = 10 Û x3 = 2 Û x =
d. 8x3 + 2 = 1 Û 8x3 = -1 Û x3 = Û x =
e. 5x6 + 7 = 97 Û 5x6 = 90 Û x6 = 18 Û
f. 0,1x7 – 1 = 999 Û 0,1x7 = 1000 Û x7 = 10000 Û x =
19
a.
b.
c. 0,5(3x – 1)4 = 8 Û (3x – 1)4 = 16 Û 3x – 1 = 2 Ú 3x – 1 = -2 Û 3x = 3 Ú
3x = -1 Û
x = 1 Ú x = -
d. Û
20
a. 5x4 – 3 = 17 Û 5x4 = 20 Û x4 = 4 Û x = Ú x = -
b. 4x3 – 5 = 1367 Û 4x3 = 1372 Û x3 = 343 Û x = 7
c. 3(4x – 5)3 = 15 Û (4x – 5)3 = 5 Û 4x – 5 = Û 4x = 5 + Û x =
d. 17 – 2(1 – 3x)4 = 5 Û 2(1 – 3x)4 = 12 Û (1 – 3x)4 = 6 Û 1 – 3x = Ú 1 – 3x = - Û
-3x = -1 + Ú -3x = -1 - Û x = Ú x = Û x = Ú x =
21. Gegeven x3 - x2 – 2x = 0
a. x3 - x2 – 2x = 0 Û x(x2 – x – 2) = 0
b. x(x2 – x – 2) = 0 Û x(x – 2)(x + 1) = 0 Û x = 0 Ú x = 2 Ú x = -1
22.
a. x3 - 5x2 + 6x = 0 Û x(x2 – 5x + 6) = 0 Û x(x – 3)(x – 2) = 0 Û x = 0 Ú x = 3 Ú x = 2
b. x3 – 5x2 = 6x Û x3 - 5x2 – 6x = 0 Û x(x2 – 5x – 6) = 0 Û x(x – 6)(x + 1) = 0 Û
x = 0 Ú x = 6 Ú x = -1
c. x3 = 4x2 + 12x Û x3 - 4x2 – 12x = 0 Û x(x2 – 4x – 12) = 0 Û x(x – 6)(x + 2) = 0 Û
x = 0 Ú x = 6 Ú x = -2
d. x4 - 13x2 + 36 = 0 Stel x2 = p Þ p2 – 13p + 36 = 0 Û (p – 9)(p – 4) = 0 Û
p = 9 Ú p = 4 Û x2 = 9 Ú x2 = 4 Û x = 3 Ú x = -3 Ú x = 2 Ú x = -2
23.
a. x4 - 10x2 + 9 = 0 Stel x2 = p Þ p2 – 10p + 9 = 0 Û (p – 9)(p – 1) = 0 Û p = 9 Ú
p = 1 Û
x2 = 9 Ú x2 = 1 Û x = 3 Ú x = -3 Ú x = 1 Ú x = -1
b. x4 - 8x2 - 9 = 0 Stel x2 = p Þ p2 – 8p - 9 = 0 Û (p – 9)(p + 1) = 0 Û p = 9 Ú p = -1 Û
x2 = 9 Ú x2 = -1 (k.n.) Û x = 3 Ú x = -3
c. x4 + 16 = 10x2 Stel x2 = p Þ p2 – 10p + 16 = 0 Û (p – 8)(p – 2) = 0 Û p = 8 Ú
p = 2 Û
x2 = 8 Ú x2 = 2 Û x = Ö8 Ú x = -Ö8 Ú x = Ö2 Ú x = -Ö2
d. x3 + 25x = 10x2 Û x3 - 10x2 + 25x = 0 Û x(x2 – 10x + 25) = 0 Û x(x – 5)(x – 5) = 0 Û
x = 0 Ú x = 5
24. Gegeven: 2x4 - 11x2 + 12 = 0
a. Stel x2 = p Þ 2p2 – 11p + 12 = 0 D
= 121 – 4.2 .12 = 25 Þ
b. x2 = 4 Ú x2 = 1,5 Û x = 2 Ú x = -2 Ú x = -Ö1,5 Ú x = Ö1,5
25.
a. 6x4 + 2 = 7x2 Û 6x4 - 7x2 + 2 = 0 Stel x2 = p Þ 6p2 – 7p + 2 =
0 D = 49 – 4.6.2 = 1 Þ
p = Ú p = Û p = 0,5 Ú p = Û x2 = 0,5 Ú x2 = Û
x = -Ö0,5 Ú x = Ö0,5 Ú x = - Ú x =
b. 2x4 = x2 + 3 Û 2x4 - x2 – 3 = 0 Stel x2 = p Þ 2p2 – p - 3 = 0 D = 1 – 4.2.(-3) = 25 Þ
Û p = -1 Ú p = 1,5 Û x2 = -1 (k.n.) Ú x2 = 1,5 Û x = -Ö1,5 Ú x = Ö1,5
c. 4x4 + 7x2 = 2 Û 4x4 + 7x2 – 2 = 0 Stel x2 = p Þ
4p2 + 7p – 2 = 0 D = 49 – 4.4.(-2) = 81 Þ
Ú Û p = 0,25 Ú p = -2 Þ x2 = 0,25 Ú x2 = -2 (k.n.) Û
x = 0,5 Ú x = -0,5
d. 16x4 + 225 = 136x2 Û 16x4 - 136x2 + 225 = 0 Stel x2 = p Þ 16p2 – 136p + 225 = 0
D = (-136)2 – 4.16.225 = 4096 Þ Û p = 2,25 Ú p = 6,25 Û
x2 = 2,25 Ú x2 = 6,25 Û x = -1,5 Ú x = 1,5 Ú x = -2,5 Ú x = 2,5
26.
a. 4x4 + 153 = 53x2 Û 4x4 - 53x2 + 153 = 0 Stel x2 = p Þ 4p2 – 53p + 153
= 0 Þ
D = (-53)2 – 4.4.153 = 361 Þ p = Ú p = Û p = 4,25 Ú p = 9 Û
x2 = 4,25 Ú x2 = 9 Û x = -Ö4,25 Ú x = Ö4,25 Ú x = 3 Ú x = -3
b. 4x4 + 21x2 = 148 Û 4x4 + 21x2 – 148 = 0 Stel x2 = p Þ 4p2 + 21p – 148
= 0
D = 212 – 4.4.(-148) = 2809 Þ p = Ú p = Û p = -9,25 Ú p = 4 Û
x2 = -9,25 (k.n.) Ú x2 = 4 Û x = -2 Ú x = 2
c. 4x6 + 35 = 24x3 Û 4x6 – 24x3 + 35 = 0 Stel x3 = p Þ
4p2 – 24p + 35 = 0
D = 242 – 4.4.35 = 16 Þ p = Ú p = Û p = 2,5 Ú p = 3,5 Û
x3 = 2,5 Ú x3 = 3,5 Û x = Ú x =
d. 64x6 + 27 = 224x3 Û 64x6 – 224x3 + 27 = 0 Stel x3 = p Þ
64p2 – 224p + 27 = 0 Þ
D = (-224)2 – 4.64.27 = 43264 Þ p = Ú p = Û
p = 0,125 Ú p = 3,375 Û x3 = 0,125 Ú x3 = 3,375 Û x = 0,5 Ú x = 1,5
27.
a. De getallen zijn 7 en -7.
b. Dan moet gelden : 2x – 1 = 7 of 2x – 1 = -7 Û 2x = 8 of 2x = -6 Û x = 4 of x = -3 Þ
de getallen zijn dus 4 en -3.
28.
a. ½2x - 1½ = 8 Û 2x – 1 = 8 Ú 2x – 1 = -8 Û 2x = 9 Ú 2x = -7 Û x = 4,5 Ú x = -3,5
b. ½ x2 – 3 ½ = 1 Û x2 – 3 = 1 Ú x2 – 3 = -1 Û x2 = 4 Ú x2 = 2 Û
x = 2 Ú x = -2 Ú x = -Ö2 Ú x = Ö2
c. ½2x2 – 5 ½ = 11 Û 2x2 – 5 = 11 Ú 2x2 – 5 = -11 Û 2x2 = 16 Ú 2x2 = -6 (k.n.) Û
x2 = 8 Û x = -Ö8 Ú x = Ö8
d. ½5 - x2½ = 11 Û 5 - x2 = 11 Ú 5 - x2 = -11 Û x2 = -6 (k.n.) Ú x2 = 16 Û x = 4 Ú x = -4
29.
a. ½2x4 - 5½ = 15 Û 2x4 – 5 = 15 Ú 2x4 – 5 = -15 Û 2x4 = 20 Ú 2x4 = -10 (k.n.) Û
x4 = 10 Û x = Ú x =
b. ½2x3 - 5½ = 15 Û 2x3 – 5 = 15 Ú 2x3 – 5 = -15 Û 2x3 = 20 Ú 2x3 = -10 Û
x3 = 10 Ú x3 = -5 Û x = Ú x =
c. ½x4 - 5x2½ = 6 Û x4 - 5x2 = 6 Ú x4 - 5x2 = -6 Û x4 - 5x2 - 6 = 0 Ú x4 - 5x2 +6 = 0 Stel x2 = p Þ p2 – 5p – 6 = 0 Ú p2 – 5p + 6 = 0 Û (p – 6)(p + 1) = 0 Ú (p – 3)(p – 2) = 0 Û
p = 6 Ú p = -1 Ú p = 3 Ú p = 2 Û x2 = 6 Ú x2 = -1 (k.n.) Ú x2 = 3 Ú x2 = 2 Û
x = Ö6 Ú x = -Ö6 Ú x = Ö3 Ú x = -Ö3 Ú x = -Ö2 Ú x = Ö2
d. ½x6 – 10x3½ = 24 Û x6 – 10x3 = 24 Ú x6 – 10x3 = -24 Û
x6 – 10x3 – 24 = 0 Ú x6 – 10x3 + 24 = 0 Stel x3 = p Þ p2 – 10p – 24 = 0 Ú p2 – 10p + 24 = 0 Û (p – 12)(p + 2) = 0 Ú (p – 6)(p – 4) = 0 Û p = 12 Ú p = -2 Ú p = 6 Ú p = 4 Û
x3 = 12 Ú x3 = -2 Ú x3 = 6 Ú x3 = 4 Û x = Ú x = - Ú x = Ú x =
30.
a.
b. kan niet want het bereik van een wortel is groter of gelijk aan nul.
31.
a. x = Ö(5x + 14) kwadr. Þ x2 = 5x + 14 Û x2 – 5x – 14 = 0 Û (x – 7)(x + 2) = 0 Û x = 7 Ú
x = -2 controle: 7 = Ö(35 + 14) = Ö49 klopt en -2 = Ö(-10 + 4) klopt niet Þ x = 7
b. 3x = Ö(8x + 20) kwadr. Þ 9x2 = 8x + 20 Û 9x2 – 8x – 20 =
0 D = b2 – 4ac =
64 – 4.36.(-20) = 784 Þ x = = 2 Ú x = controle:
6 = Ö(16 + 20) = Ö36 klopt en = Ö……. kan niet Þ x = 2
c. 5Öx = x kwadr. Þ 25x = x2 Û -x2 + 25x = 0 Û -x(x – 25) = 0 Û x = 0 Ú x = 25 controle Þ 5.Ö0 = 0 klopt en 5 . Ö25 = 5 . 5 = 25 klopt ook Þ x = 0 Ú x = 25
d. 3x = Ö(18x + 72) kwadr. Þ 9x2 = 18x + 72 Û 9x2 – 18x – 72 = 0 Û x2 – 2x – 8 = 0 Û
(x – 4)(x + 2) = 0 Û x = 4 Ú x = -2 controle: 12 = Ö(18 . 4 + 72) = Ö144 klopt en
-6 = Ö….. kan niet Þ x = 4
32.
a. 4 - 3Öx = 2 Û 3Öx = 2 Û Öx = Û x = voldoet.
b. 5Öx – 2x = 0 Û 5Öx = 2x kwadr. Þ 25x = 4x2 Û 4x2 – 25x = 0 Û x(4x – 25) = 0 Û
x = 0 Ú x = 6,25 voldoen allebei.
c. 2x - 5Öx = 3 Û 5Öx = 2x – 3 kwadr. Þ 25x = 4x2 – 12x + 9 Û 4x2 – 37x + 9 =
0
D = (-37)2 – 4.4.9 = 1225 Þ x = Ú x = Û x = 9 Ú x = 0,25
x = 9 voldoet en x = 0,25 voldoet niet.
d. 5 - 2Öx = 3 Û 2Öx = 2 Û Öx = 1 Û x = 1 voldoet.
33.
a. 2x + Öx = 10 Û Öx = 10 – 2x kwadr. Þ x = 100 – 40x + 4x2 Û
4x2 – 41x + 100 = 0
D = (-41)2 – 4.4.100 = 81 Û x = Ú x = Û x = 4 voldoet Ú x = 6,25 voldoet niet , want Ö6,25 ¹ 10 – 12,5
b. kwadr. Þ x + 12 = x2 Û x2 – x – 12 = 0 Û (x – 4)(x + 3) = 0 Û x = 4 Ú x = -3
x = 4 voldoet en x = -3 voldoet niet want Ö9 ¹ -3
c. 2x + Öx = 6 Û Öx = 6 – 2x kwadr. Þ x = 36 – 24x + 4x2 Û
4x2 – 25x + 36 = 0
D = (-25)2 – 4.4.36 = 49 Þ x = Ú x = Û
x = 2,25 Ú x = 4
x = 2,25 geeft 4,5 + 1,5 = 6 klopt en x = 4 geeft 8 + 2 ¹ 6 voldoet niet. Þ x = 2,25
d. 10 - xÖx = 2 Û xÖx = 8 kwadr. Þ x3 = 64 Û x = 4
controle : 10 – 4.2 = 2 voldoet Þ x = 4
34. Gegeven :
a. Stel xÖx = p Þ p2 + p – 6 = 0 Û (p + 3)(p – 2) = 0 Û p = -3 Ú p = 2
b. Uit a: xÖx = -3 Þ x3 =
9 Û x = Controle: . ¹ -3 voldoet niet
2e oplossing xÖx = 2 Þ x3 = 4 Û x = controle: 4 + 2 = 6 !!!!! klopt.
35.
a. x3 – 9xÖx + 8 = 0 Stel xÖx = p Þ p2 – 9p + 8 = 0 Û (p – 8)(p – 1) = 0 Û p = 8 Ú p = 1 Û
xÖx = 8 Ú xÖx = 1 xÖx = 8 Þ x3 = 64 Þ x = 4 of x3 = 1 Þ
x = 1
Controle: x = 4 geeft 64 – 72 + 8 = 0 klopt.
x = 1 geeft 1 – 9 + 8 = 0 klopt.
b. x3 + 27 = 28xÖx Stel xÖx = p Þ p2 – 28p + 27 = 0 Û (p – 27)(p – 1) = 0 Û
p = 27 Ú p = 1 Û xÖx = 27 Ú xÖx = 1 Þ x3 = 729 Ú x3 = 1 Û x = 9 Ú x = 1
x = 9 geeft 729 + 27 = 28.27 Û
756 = 756 klopt.
x = 1 geeft 1 + 27 = 28 klopt.
c. 8x3 + 8 = 65xÖx Stel xÖx = p Þ
8p2 – 65p + 8 = 0 D = (-65)2 – 4.8.8 = 3969 Þ
p = Ú p = Û
p = 0,125 Ú p = 8 Þ
xÖx = 0,125 Ú xÖx = 8 Þ x3 = Ú x3 = 64 Û x = 0,25 Ú x = 4
controle: x = 0,25 geeft klopt.
x = 4 geeft 8.64 + 8 = 65.4.2 Û 520 = 520 klopt.
d. x5 - 33x2.Öx + 32 = 0 Stel x2.Öx = p Þ p2 – 33p + 32 = 0 Û (p – 32)(p – 1) = 0 Û
p = 32 Ú p = 1 Û x2.Öx = 32 Ú x2.Öx = 1 Þ x5 = 1024 Ú x5 = 1 Û x = 4 Ú x = 1
x = 4 geeft: 1024 – 33.16.2 + 32 = -32+32 = 0 klopt.
x = 1 geeft : 1 – 33 + 332 = 0 klopt.
36.
a. x3 + 30 = 11xÖx Stel xÖx = p Þ p2 - 11p + 30 = 0 Û (p – 5)(p – 6) = 0 Û p = 5 Ú
p = 6 Û
xÖx = 5 Ú xÖx = 6 Þ x3 = 25 Ú x3 = 36 Û
x = Ú x =
x = geeft 25 + 30 = 11.5 klopt
x = geeft 36 + 30 = 11.6 klopt ook.
b. x3 + 125 = 126xÖx Stel xÖx = p Þ p2 – 126p + 125 = 0 Û (p – 125)(p – 1) = 0 Û
p = 125 Ú p = 1 Û xÖx = 125 Ú xÖx = 1 Þ x3 = 15625 Ú x3 = 1 Û x = 25 Ú x = 1
x = 25 geeft : 15625 + 125 = 126.25.5 Û
15750 = 15750 klopt
x = 1 geeft : 1 + 125 = 126 . 1.1 klopt ook.
c. x5 + 10 = 7x2.Öx Stel x2.Öx = p Þ p2 – 7p + 10 = 0 Û (p – 5)(p – 2) = 0 Û p = 5 Ú p = 2 Û
x2.Öx = 5 Ú x2.Öx = 2 Þ x5 = 25 Ú x5 = 4 Û
x = Ú x =
x = geeft : 25 + 10 = 7.5
klopt en
x = geeft : 4 + 10 = 7.2 klopt.
d. 32x5 + 32 = 1025x2.Öx Stel x2.Öx = p Þ 32p2 - 1025p
+ 32 = 0
D = 10252 – 4.322 = 1046529 Þ p = Ú p = Û
p = Ú p = 32 Û
x2 .Öx = Ú x2 .Öx = 32 Û x5 = Ú x5 = 1024 Û x = 0,25 Ú x = 4
x = 0,25 geeft 32. + 32 = 1025. Û
32 = 32 klopt.
x = 4 geeft 32.1024 + 32 = 1025.32 Û 32800 = 32800 klopt.
37. x - Öx = 12
Mijn voorkeur is substitutie. Stel Öx = p Þ p2 – p – 12 = 0 Û (p – 4)(p + 3) = 0 Û
p = 4 Ú p = -3 Û Öx = 4 Ú Öx = -3 (k.n.) Û
x = 16
x = 16 geeft 16 – 4 = 12 klopt.
38.
a. Kruistabel is hetzelfde als kruislings vermenigvuldigen Þ x2 = 2(x + 4) Û
x2 – 2x – 8 = 0
b. x2 – 2x – 8 = 0 Û (x – 4)(x + 2) = 0 Û x = 4 Ú x = -2 voldoen allebei.
39.
a. x(x + 3) = 10(x – 1) Û x2 + 3x = 10x – 10 Û x2 – 7x + 10 = 0 Û
(x – 5)(x – 2) = 0 Û x = 5 Ú x = 2 bij deze waarden zijn de noemers niet 0 Þ goede opl.
b. Þ (2x + 3)(x – 1) = (2x + 2)(x + 1) Û 2x2 – 2x + 3x – 3 = 2x2 + 4x + 2 Û x – 4x = 3 + 2 Û -3x = 5 Û x = voldoet ( noemers zijn dan niet 0)
c. Þ 3(x + 1) = 2(x – 3) Û 3x + 3 = 2x – 6 Û x = -9 voldoet
d. + 1 = 3 Û = 2 Þ x – 1 = 2x Û -x = 1 Û x = -1 voldoet
e. Þ x(3x + 4) = (x – 1)(x + 18) Û 3x2 + 4x = x2 + 18x – x – 18 Û 2x2 – 13x + 18 = 0 D = (-13)2 – 4.2.18 = 25 Þ x = Ú x = Û
x = 4,5 Ú x = 2 de oplossingen voldoen (noemers niet 0)
f. Þ (x + 2)(4 – x) = (2x – 5)(3x – 4) Û 4x - x2 + 8 – 2x = 6x2 – 8x – 15x + 20 Û -7x2 + 25x -12 = 0 Þ D = 252 – 4.(-7).(-12) =
289 Þ x = Ú x = Û x = Ú x = 3 voldoen , want de noemers zijn dan niet 0.
40.
a. Û 5x2 - 15 = 0 Û x2 = 3 Û x = Ö3 Ú x = -Ö3 voldoen.
b. Û x2 – 3 = x – 1 Û x2 – x – 2 = 0 Û (x – 2)(x + 1) = 0 Û x = 2 Ú x = -1 voldoen
c. Þ x2 – 4 = 0 Ú 2x + 5 = x + 4 Û x = 2 Ú x = -2 Ú x = -1 voldoen alle drie.
d. Þ x2 + 1 = x + 3 Û x2 – x – 2 = 0 Û (x - 2)(x + 1) = 0 Û x = 2 voldoet Ú
x = -1 voldoet niet !!
41.
a. Û 3x2 – 10 = 2x2 + 2 Û x2 = 12 Û x = Ö12 Ú x = -Ö12 voldoen.
b. Û x3 – 8 = 0 Ú x2 + 2 = x + 8 Û x3 = 8 Ú x2 – x – 6 = 0 Û
x = 2 Ú (x – 3)(x + 2) = 0 Û x = 2 Ú x = 3 Ú x = -2 voldoen alle drie.
c. Þ 2(x2 +1)2 = 25(3x2 – 10) Stel x2 = p Þ
2(p + 1)2 = 25(3p – 10) Û 2(p2 + 2p + 1) = 75p – 250 Û 2p2 + 4p + 2 –
75p+ 250 = 0 Û
2p2 -71p + 252 = 0 Þ D = (-71)2 – 4.2.252 = 3025 Þ
p = Ú p = Û p = 4 Ú p = 31,5 Û x2 = 4 Ú x2 = 31,5 Û
x = 2 Ú x = -2 Ú x = Ö31,5 Ú x = -Ö31,5 voldoen alle vier.
d. Þ 4(x2 – 1)2 = 3(6x2 – 12) Stel x2 = p Þ 4(p – 1)2 = 3(6p – 12) Û
4(p2 – 2p + 1) = 18p – 36 Û 4p2 – 8p + 4 – 18p + 36 = 0 Û
4p2 – 26p + 40 = 0 Þ
D = (-26)2 – 4.4.40 = 36 Þ p = Ú p = Û p = 2,5 Ú p = 4 Û
x2 = 2,5 Ú x2 = 4 Û x = Ö2,5 Ú x = -Ö2,5 Ú x = 2 Ú x = -2 voldoen alle vier.
42. l : y = -0,25x + 3
a. (0,3) op l Þ 3 = -0,25 . 0 + 3 klopt ; Verder ligt voldoet (0,3) ook aan de
vergelijking
x + 4y = 12 want 0 + 4.3 = 12.
b. (4,2) ligt op l want 2 = -0,25.4 + 3.
c. y = -0,25x + 3 * 4 Û 4y = -x + 12 Û x + 4y = 12.
|
x |
0 |
2 |
|
y |
-6 |
0 |
43. l: 3x –y = 6
|
x |
0 |
1 |
|
y |
1 |
0 |
m:x + y = 1
n : x – y = 0 Þ y = x
|
x |
0 |
4 |
|
y |
2 |
0 |
p: x +2y = 4
44. l: 4x – 3y = 24
a. Snijpunt
x-as Þ y = 0 Þ 4x = 24 Û x = 6 Þ snijpunt is (6,0)
Snijpunt y-as Þ x = 0 Þ -3y = 24 Û y = -8 Û snijpunt (0,-8)
b. A(8,3) : 4.8 – 3.3 = 32 – 9 = 23 ¹ 24 Þ
A ligt niet op l.
B(18,16) : 4.18 – 3.16 = 72 – 48 = 24 Þ B ligt op l.
C(-30,-48) : 4.(-30) – 3.(-48) = -120 +144 = 24 Þ C ligt ook op l.
c. x = 16 en y = p voldoen aan 4x – 3y = 24 Þ 4.16 – 3.p = 24 Û 64 – 3p = 24 Û
3p = 40
Û p = .
d. Dan geldt: 4q – 3.48 = 24 Û 4q = 168 Û q = 42
|
x |
0 |
1,5 |
|
y |
3 |
0 |
45. Gegeven: l: 2x + y = 3 en m: x – 2y
= 4
l:
|
x |
0 |
4 |
|
y |
-2 |
0 |
m:
b. Na aflezen is het snijpunt (2,-1)
c. (2,-1) voldoet aan beide vergelijkingen
want:
2.2 – 1 = 3 en 2 -2.(-1) = 4.
46.
a.
b.
c.
47.
a. Als je nu optelt dan krijg je : 5x – y = 23 Er is dus geen variabele verdwenen.
b. Als je aftrekt dan krijg je: x - 7y = -9 Er is dus ook hier geen variabele verdwenen.
48.
a.
b.
c.
49.
a.
b.
c.
50. We moeten het bijbehorende
stelsel oplossen Þ
Þ Het snijpunt van de lijnen l en m is (2,9)
51. Gegeven : y = x2 + bx + c door (1,-2) en (2,3)
a. Parabool door (1,-2) Þ -2 = 1 + b + c Û b + c = -3
b. Door (2,3) Þ 3 = 4 +2b + c Û 2b + c = -1
c. We hebben dus een stelsel met onbekenden b en c. Oplossen Þ
52. Gegeven y = ax2 + c
door (1,8) en (2,17) Þ
8 = a + c en 17 = 4a + c Þ
Þ De formule is dus: y = 3x2 + 5
53. k door (2,8) Þ 2a + b = 8 en l door (2,8) Þ 2b + a = 8 Þ
54.
a. y = x2 + px + q snijdt y = 2px – q in (2,-1) Þ
4 + 2p + q = -1 en 4p – q = -1 Þ
b. Nu y = x2 – x – 3 snijden met y = -2x -3 Þ x2 – x – 3 = -2x + 3 Û x2 + x – 6 = 0 Û
(x + 3)(x – 2) = 0 Û x = -3 Ú x = 2 Þ De snijpunten zijn (-3 , 9) en (2 , -1) (al bekend)
55. door(-2,-10) en (0,4) Þ
Û
a = - ; b = 4 en c = 4 Þ De formule is nu :
56. Snijpunt van l en m Þ
Þ
Het snijpunt is dus (3,2)
57.
a.
b.
c.
58.
a. Û -x2 + x + 3 = -3 Û x2 – x -6 = 0 Û (x – 3)(x + 2) = 0 Û
x = 3 Ú x = -2 Als x = 3 dan y = 6 en als x = -2 dan y = 1 Þ oplossing: (3,6) en (-2,1)
b. x2 + 25 – 30x + 9x2 = 25 Û 10x2 – 30x = 0 Û
10x(x – 3) = 0 Û x = 0 Ú x = 3 Þ
Als x = 0 dan y = 5 en als x = 3 dan y = -4 Þ oplossing: (0,5) en (3,-4)
c. We weten dat (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 Þ
Þ 1) 6x - x2 = 8 Û x2 – 6x +8 = 0 Û (x – 4)(x – 2) = 0 Û x = 4 Ú x = 2 Þ
als x = 4 dan y = 2 en als x = 2 dan y = 4
2) -6x - x2 = 8 Û x2 + 6x + 8 = 0 Û (x + 2)(x + 4) = 0 Û x = -2 Ú x = -4 Þ
als x = -2 dan y = -4 en als x = -4 dan y = -2
Totale oplossing: (4,2) ; (2,4) ; (-2,-4) en (-4,-2)
59. I : substitutie x2 = p geeft een 2egraadsvergelijking en die is op te lossen.
II: niet direct oplosbaar.
III: x4 – x3 - 2x = 0 Û x(x3 - x2 – 2) = 0 geeft x = 0 en x3 - x2 – 2 = 0 Deze laatste vergelijking geeft problemen.
IV: x4 – x3 - 2x2 = 0 Û x2(x2 – x – 2) = 0 Û x = 0 Ú x2 – x – 2 = 0 Deze vergelijking is dus op te lossen.
60.
a. Aflezen van de snijpunten geeft
(-1,0) ; (1,0) ; (2,0) en (3,0) Þ
De x-coördinaten zijn dus : -1 ; 1 ; 2 en 3.
b. Controle : (-1,0) : (-1)4 -5.(-1)3 + 5.(-1)2 + 5.(-1) – 6 = 1+5+5-5 -6 = 0 klopt.
(1,0) : 1 -5.1 +5.1 + 5.1 – 6 = 0 klopt.
(2,0) : 16 – 5.8 + 5.4 + 5.2 – 6 = 16 – 40 + 20 + 10 – 6 = 0 klopt.
(3,0) : 81 – 5.27 + 5.9 + 5.3 – 6 = 81 – 135 + 45 + 15 – 6 = 0 klopt.
61.
a. Aflezen geeft de snijpunten (-1,2) ; (2,1) en (4,-2) Þ De x-coördinaten zijn dus : -1 ; 2 en 4.
b. Nu de controle: x = -2: 0,5.(-8) – 2.4 -4.(-2) + 8 = -0,5.(-8) + 2.4 -8 Û
-4 - 8 + 8 + 8 = 4 + 8 – 8 Û
4 = 4 en dit klopt inderdaad.
Nu bij x = 2 : 0,5.8 – 2.4 – 4.2 + 8 = -0,5.8 + 2.4 – 8 Û 4 – 8 – 8 + 8 = -4 + 8 – 8 Û
-4 = -4 en dit klopt.
Nu bij x = 4 : 0,5.64 – 2.16 – 4.4 + 8 = -0,5.64 + 2.16 – 8 Û
32 – 32 – 16 + 8 = -32 + 32 – 8 Û
-8 = -8 en dit klopt Þ
De oplossingen van de vergelijking zijn : x = -2 Ú x = 2 Ú x = 4
62.
a. x3 - 4x2 + 3 = 0 Voer in : y1 = x3 - 4x2 + 3
Met de optie zero vinden we x » -0,79 ; x = 1 Ú x » 3,79
b. x4 – 4x3 + 2x2 + x – 1 = 0 Voer in y1 = x4 – 4x3 + 2x2 + x –
1
Met optie zero vinden we : x » -0,58 Ú x » 3,34.
c. 0,4x3 + 2x2 + x – 2 = x + 2 Û 0,4x3 + 2x2 – 4 = 0 Voer in : y1 = 0,4x3
+ 2x2 – 4
Met de optie zero vinden we x » -4,51 Ú x » -1,76 Ú x » 1,26
d. 0,2x5 – x4 + 4x2 = 0,2x + 3 Voer nu in : y1 = 0,2x5 – x4 + 4x2en y2 = 0,2x + 3 en neem b.v. het window [-5,5] X [-4,6] Zie ook het scherm:
Nu vinden we met de optie intersect :
x » -1,45 Ú x = -1 Ú x = 1 Ú x = 3 Ú x » 3,45
63.
a. 0,5x3 - 5x2 + 20 = 0 Voer in y1
= 0,5x3 - 5x2 + 20
Met de optie zero vinden we : x » -1,84 Ú x » 2,28 Ú x » 9,56
b. 0,1x4 + 0,1x3 - 12x2 + 50 = 25x Û 0,1x4 + 0,1x3 - 12x2 + 50 – 25x
= 0
Voer in : y1 = 0,1x4 + 0,1x3 - 12x2 + 50 - 25x Neem b.v. het window [-12,12] en pas zoomfit toe. De snijpunten met de x-as zijn nu goed zichtbaar. Met de
optie zero vinden we :
x = -10 Ú x » -3,53 Ú x » 1,26 Ú x » 11,27.
64.
a. ½x3 – 9x½ = 5 Voer in y1 = ½x3 – 9x½ en y2 = 5 en neem b.v. het window [-1,8] X [-2 , 9]
Met intersect vinden we :x » -3,25 Ú x » -2,67 Ú x » -0,58 Ú x » 0,58 Ú x » 2,67 Ú x » 3,25
b. ½x3 – 9x½ = x + 5 Voer in y1 = ½x3 – 9x½ en y2
= x + 5 en neem b.v.
het window [-1,8] X [-2 , 9]
Met intersect vinden we : x = 3,39 Ú x » 2,44 Ú x » 0,66 Ú x » -0,51 Ú x » -3,10 Ú x » -2,87.
65
a. ½x4 – x3 + x - 5½ = x + 3 Voer in y1 = ½x4 – x3 + x - 5½ en y2 = x + 3
Neem b.v. het window [-4,4] X [-2 ,
10] Met intersect vinden we :
x » -1,48 Ú x » -1,26 Ú x = 1 Ú x = 2.
b. ½x3 - 5x2 – 2x + 24½ = 20 Voer in : y1 = ½x3 - 5x2 – 2x + 24½ en y2 = 24
Neem na wat zoeken , het window [-7,7] X
[0 , 30]
Met intersect vinden we : x » -2,55 Ú x = -1 Ú x » 0,76 Ú x » 5,24
c. ½x2 – 4x½ = ½x2 + 2x - 3½ Voer in : y1 = ½x2 – 4x½ en y2 = ½x2 + 2x- 3½ en neem b.v. het window [-6,6] X [-2,8]
Met intersect vinden we x » -0,82 Ú x » 0,5 Ú x » 1,82.
d. ½ x3 - 4x2 – 3x + 10½ = 0 Voer in : y1 = ½ x3 - 4x2 – 3x + 10½
Neem b,v het window [-6,6] X [-10,10] Met zero vinden we :
x » -1,63 Ú x » 1,48 Ú x » 4,14.
66.
a. Voer in y1 = f(x) = -x2 + 6x en y2 = g(x) = x + 4 Met intersect vinden we: x = 1 en x = 4 .
b. We gaan eerst kijken in de schets van het
boek. We lezen dan af: f ligt boven g voor :
1 < x < 4.
67.
a. x2 – 3x £ 14 Û x2 – 3x – 14 £ 0 Voer in : y1 = x2
– 3x – 14 Met de optie zero vinden we :
x » -2,531 Ú x » 5,531 Verder
lezen we af uit de schets :
- 2,531 £ x £ 5,531
b. x2 + 2x > 11 Û x2 + 2x – 11 > 0 Voer in : y1 = x2 + 2x – 11
Met de optie zero vinden we : x » -4,464 Ú x » 2,464
We lezen vervolgens af uit de schets :
x < -4,464 Ú x > 2,464
c. 8x2 + 6x – 35 ³ 0 Voer in : y1
= 8x2 + 6x – 35
Met de optie zero vinden we : x = -2,5 Ú x = 1,75
We lezen vervolgens af uit de schets
x £ -2,5 Ú x ³ 1,75
d. x3 + 4,5x2 < 19x + 60 Û x3 + 4,5x2 – 19x – 60 < 0
Voer in : y1 = x3 + 4,5x2 – 19x - 60
Met de optie zero vinden we : x = -6 Ú x = -2,5 Ú
x = 4
We lezen vervolgens af uit de schets
x < -6 Ú -2,5 < x < 4
68.
a. x2 – 5x < 14 Û x2 – 5x – 14 < 0
Nulpunten: (x – 7)(x + 2) = 0 Û
x = 7 Ú x = -2
Nu de schets. Daar lezen we af :
x2 – 5x – 14 < 0 voor : -2 < x < 7
b. 2x2 – 3x ³ 2 Û
2x2 – 3x – 2 ³ 0
Nulpunten: 2x2 – 3x – 2 = 0 Þ
D = 9 – 4.2.(-2) = 25
x = = 2 Ú x = =-0,5
Nu de schets. Daar lezen we af :
2x2 – 3x – 2 ³ 0 voor : x £ -0,5 Ú x ³ 2
c. x2 – 4x £ -x2 – 5x + 6 Û 2x2 + x – 6 £
0
Nulpunten uit 2x2 + x – 6 =
0 Þ
D = 1 – 4.2.(-6) = 49 Þ
x = = -2 Ú x = = 1,5
Schets en vervolgens aflezen Þ
-2 £ x £ 1,5
d. x3 + 2x2 > 3x Û x3 + 2x2 – 3x > 0
Nulpunten uit : x3 + 2x2 – 3x = 0 Û
x(x2 + 2x – 3) = 0 Û x(x
+ 3)(x – 1) = 0
Û x = 0 Ú x = -3 Ú
x = 1
Schets en vervolgens aflezen Þ
-3 < x < 0 Ú x > 1
69.
a. 0,1x3 - 2x2 + 8x + 10 ³ -x + 15 Û
0,1x3 - 2x2 + 9x – 5 ³ 0
Voer in : y1 = 0,1x3 - 2x2 + 9x – 5
en
neem b.v. het window [-5,15] X
[-18,12]
Met de optie zero vinden we :
x » 0,65 Ú x » 5,66 Ú x » 13,69
Schets en vervolgens aflezen geeft :
0,65 £ x £ 5,66 Ú x ³ 13,69
b. -0,5x4 + 3x3 - 4x2 + 8 ³ x + 7 Û
-0,5x4 + 3x3 – 4x2 – x + 1 ³ 0
Voer in : y1 = -0,5x4 + 3x3 – 4x2
– x + 1 en
neem b.v. het window [-5,5] X [-6,6]
Met de optie zero vinden we :
x » -0,52 Ú x » 0,45 Ú x » 2,29 Ú x » 3,78
Schets en vervolgens aflezen geeft :
-0,52 £ x £ 0,45 Ú 2,29 £ x £ 3,78
c. ½x3 – 10x½ £ 2x + 8
Voer in : y1 = ½x3 – 10x½ en y2 = 2x + 8
en neem b.v. het window [-5,5] X [-10 , 20]
Met de optie intersect vinden we de snijpunten
Þ
x » -3,24 Ú x » -3,06 Ú x » -0,69 Ú x » 1,24 Ú
x = 2 Ú x »
3,76
Schets en vervolgens aflezen geeft :
-3,24 £ x £ -3,06 Ú -0,69 £
x £ 1,24 Ú
2 £ x £ 3,76
d. ½x4 +x2
- 5x - 10½ £ 8 - ½2x - 4½
Voer in : y1 = ½x4 + x2 – 5x – 10½ en y2 = 8 - ½2x - 4½
en neem b.v. het window [-3,5] X [-5 , 15]
Met de optie intersect vinden we de snijpunten Þ
x » -1,32 Ú x » -1,10 Ú x » 1,69 Ú x » 2,21
Schets en vervolgens aflezen geeft :
-1,32 £ x £ -1,10 Ú 1,69 £ x £ 2,21
70. Gegeven : x2 + px + p = 0
a. D = p2 – 4.1.p = p2 – 4p
b. Dan moet gelden : p2 – 4p > 0.
71.
a. x2 + px + 3p = 0 2 oplossingen Þ D > 0 Û
p2 – 4.3p > 0 Û
p2 – 12p > 0
Nulpunten : p2 – 12p = 0 Û p(p
– 12) = 0 Û
p = 0 Ú
p = 12
Schets en aflezen Þ
p < 0 Ú p > 12
b. Gegeven: px2 + (p – 4)x + 0,5 = 0
2 oplossingen Þ D > 0 Þ
(p – 4)2 - 4.p.0,5 > 0 Û
p2 – 8p + 16 – 2p > 0 Û
p2 – 10p + 16 > 0
Nulpunten : p2 – 10p + 16 = 0 Û (p – 8)(p – 2) = 0
Û p = 8 Ú p = 2
Schets en aflezen geeft :
p < 2 Ú p > 8 Apart : Als p = 0 dan is er een eerstegraadsvergelijking Þ p = 0 doet dus niet mee. Þ p < 2 Ú p > 8 Ù p ¹ 0.
c. px2 + (p – 3)x = 4 Û px2 + (p – 3)x - 4 = 0
Geen oplossingen als D < 0 Þ
(p – 3)2 - 4.p.(-4) < 0 Û
p2 – 6p + 9 + 16p < 0 Û
p2 + 10p + 9 < 0
Nulpunten : p2 + 10p + 9 =0 Û (p + 9)(p + 1)=0
Û p = -9 Ú p = -1
Schets en aflezen geeft : -9 < p < -1
Als p = 0 dan is er een eerstegraadsvergelijking Þ p = 0 doet dus niet mee. Þ
-9 < p < -1 Ù p ¹ 0.
72a. Vergelijking x2 +(p2 – 2)x + 12,25 = 0 Þ
2 oplossingen Þ D > 0 Û (p2 – 2)2 –
4.1.12,25 > 0
Û (p2 – 2)2 – 49
> 0 Þ Nulpunten :
(p2 – 2)2 – 49 = 0 Û (p2 – 2)2 = 49 Û
p2 – 2 = 7 Ú p2 – 2 = -7 Û
p2 = 9 Ú p2 = -5 (k.n.) Û
p = 3 Ú
p = -3
Schets en aflezen geeft :
p < -3 Ú p > 3
b. px3 +p2x2 – 16x = 0 Û
x(px2 + p2x – 16) = 0
3 oplossingen Þ De 1e oplossing is x = 0 die al buiten
haakjes gehaald is.
Nu moet dus verder de 2e factor 2 oplossingen geven Þ
px2 + p2x – 16
=0 2 oplossingen Þ D > 0 Û
p4 – 4p.(-16) > 0 Û p4 + 64p >
0
Nulpunten Þ p4 + 64p = 0 Û
p(p3 + 64) = 0 Û p = 0 Ú p3 = -64 Û
p = 0 Ú p = -4
Uit de schets lezen we af : p < -4 Ú p > 0
c. px3 + 2px2 - 3x2 + 0,25x = 0 moet 1 oplossing geven.
De zekere oplossing krijg je door x
buiten haakjes te halen .
x = 0 is dan zeker een oplossing. Þ
x(px2 + 2px – 3x + 0,25) = 0 Û x = 0 Ú
px2 + 2px – 3x + 0,25 = 0 Deze laatste
moet dus geen oplossing krijgen. Þ
D < 0 Þ
a = p ; b = 2p – 3 en c = 0,25 Þ D < 0 Û
(2p – 3)2 – 4.p.0,25 < 0 Û
4p2 – 13p + 9 < 0
Nulpunten : Þ
REACTIES
1 seconde geleden
M.
M.
Volgens mij zou dit een uiteenzetting moeten zijn in plaats van een beschouwing.
7 jaar geleden
Antwoorden