Uitwerkingen hoofdstuk 1 deel 1

Uitwerkingen    wi  vwo  B1  H1  Vergelijkingen en ongelijkheden

1.      I , II , IV , V

2.                 

a.       x² + 6 = 5x  Û  x²  - 5x + 6 = 0  Û (x – 3)(x – 2) = 0  Û  x = 3 Ú x = 2

b.       x(x – 1 ) = 12  Û x² – x – 12 = 0  Û (x – 4)(x + 3) = 0 Û x = 4 Ú x = -3

c.       2x² = 5x  Û 2x² – 5x = 0  Û x(2x – 5) = 0  Û  x = 0 Ú 2x = 5  Û x = 0 Ú x = 2,5

d.      x = x²  Û  x² – x = 0  Û x(x – 1) = 0  Û x = 0  Ú x = 1

e.       x ² = 11  Û  x = Ö11  Ú x = -Ö11

f.       x² + 4 = 1  Û x² = -3  Dit kan niet Þ geen oplossingen

3a.     3x² – 6x = 24  Û x² – 2x -8 = 0  Û (x-4)(x + 2) = 0  Û x = 4 Ú x = -2

b.       3x² – 6x = -3(x – 6) Û 3x² – 6x = -3x + 18 Û 3x² – 3x – 18 = 0  Û x² – x – 6 = 0 Û

          (x – 3)(x + 2) = 0  Û x = 3  Ú x = -2

c.       2x² – 3x = 2  Û 2x² – 3x – 2 = 0  Þ D = (-3)² – 4 . 2 . (-2) = 25  Þ

            Û x = 2  Ú x = -0,5

d.      0,5x² – 2x – 6 = 0  Û x² – 4x – 12 = 0 Û (x – 6)(x + 2) = 0  Û x = 6  Ú x = -2

e.       x² – 3x = 5(x – 3) Û x² – 3x = 5x – 15 Û x² – 8x + 15 = 0 Û (x – 5)(x – 3) = 0  Û x = 5 Ú x = 3

f.       2x² – 5x = 3x  Û  2x² – 8x = 0  Û 2x(x – 4) = 0  Û  x = 0  Ú x = 4

4a.     6 – x² = -2  Û x² = 8  Û x =Ö8  Ú  x = -Ö8

b.      2x² = 9x + 5  Û 2x² – 9x – 5 = 0  Þ D = 81 – 4.2.(-5) = 121  Þ

            Û x = 5  Ú x = -0,5

c.      

d.     

e.      

f.      

          4x = 6 Ú 4x = 4 Û x = 1,5 Ú x = 1

5a.     x² – 5x = 0 Û x(x – 5) = 0 Û x = 0 Ú x = 5

b.      

c.       x² – 5 = 14 Û x² = 19 Û x = Ö19  Ú  x = -Ö19

d.          D  =

(-14)² – 4.1.(-5) = 216 Þ

e.       (2x – 1)(3x + 6) = 0 Û 2x = 1  Ú 3x = -6 Û x = 0,5 Ú x = -2

f.       (2x – 1)(3x + 6) = 9x Û 6x² + 12x – 3x – 6 = 9x Û 6x² – 6 = 0 Û x² = 1 Û x = 1 Ú x = -1

g.       (2x – 1)3x = 6  Û 6x² – 3x = 6 Û 6x² – 3x – 6 = 0 Û  2x² – x – 2 = 0  Þ  D = (-1)² – 4.2.(-2) =

17  Þ x =

h.       (2x – 1).3x = 6 – 9x  Û 6x² – 3x = 6 – 9x Û 6x² + 6x – 6 = 0 Û x² + x – 1 = 0  Þ D = 5

6.

a.       (x + 3)² = 16x Þ x² + 6x + 9 = 16x Û x² – 10x + 9 = 0  Û (x – 9)(x – 1) = 0  Û

          x =  9 Ú x = 1

b.       (2x + 3)² = -16  kan niet Þ geen oplossingen

c.       2.(x + 3)² = - 4x Û (x + 3)² = -2x Û x² + 6x + 9 = -2x Û x² + 8x + 9 = 0 Þ  D = 64 – 36 =28 Þ 

          x =

d.      (2x + 3)(4 – x) = 9  Û 8x – 2x² + 12 – 3x = 9  Û 2x² - 5x – 3 = 0  Þ D = 25 – 4.2.(-3) = 49

            Û x = 3 Ú x = -0,5

e.         (-4x + 3)² = 36 Û -4x + 3 = 6 Ú -4x + 3 = -6 Û -4x = 3 Ú -4x = -9  Û x = -0,75 Ú x = 2,25

f.          -4(x + 3)² = 4x Û (x + 3)² = -x Û x² + 6x + 9 = -x Û x² + 7x + 9 = 0  Þ D = 49 – 36 = 13 Þ

g.         x² –(x + 1)² = (x + 3)²  Û x² – (x² + 2x + 1) = x² + 6x + 9 Û -2x – 1 = x² + 6x + 9 Û    

             x² + 8x + 10 = 0  Þ D = 64 – 4.1.10 = 24  Þ x =

h.      (x + 3)² + (x + 2)² = 25 Û x² + 6x + 9 + x² + 4x + 4 = 25 Û 2x² + 10x +13 – 25 = 0  Û                x² + 5x -6 = 0  Û (x + 6)(x – 1) = 0 Û x = -6 Ú x = 1

7.      Gegeven :  x² + px – 6 = 0

a.      p = -1 Þ x² –x – 6 = 0 Û (x - 3)(x + 2) = 0 Û x = 3 Ú x = -2

b.      p = 2 Þ x² + 2x – 6 = 0  Þ  D = 4 – 4.1.(-6) = 28 > 0 Þ 2 oplossingen.

c.      x² + px – 6 = 0           Þ D = p² – 4 . 1 . (-6) = p² + 24    Deze laatste waarde is voor alle waarden van p  groter dan 0 omdat  p² een kwadraat is , geldt dus dat een kwadraat + 24 zelfs groter of gelijk is aan 24. Þ Deze vergelijking heeft dus voor alle waarden van p twee

x-oplossingen.

8.     

a.           2 oplossingen Þ D = 49 - 4.1.p  > 0 Û -4p > -49 Û p < 12,25

b.        2 oplossingen Þ D = 25 – 4.2.(-p) > 0 Û 8p > -25 Û p > -3,125

c.        2 oplossingen Þ D = 16 – 4.(-3).(-p) > 0 Û -12p > -16 Û p <

d.      0,25x² – 3x + p = 0   2 oplossingen Þ D > 0 Þ 9 – 4.0,25.p > 0 Û -p > -9 Û p < 9

9a.    x² + px + 25 = 0    2 oplossingen Þ D > 0 Û

 p² – 4.1.25 > 0 Û p² – 100 > 0

p² = 100 Û p = -10 Ú  p = 10     schets  :       

         Aflezen Þ p  < -10 Ú p > 10

b.      x² + px + 4 = 0   geen oplossingen Þ D < 0 Û

p² – 4 . 1 . 4  < 0 Û p² – 16 < 0   Nulpunten : p = 4 of p = -4  

Schets en dan aflezen Þ -4 < p < 4

c.      -2x² + px + 3 = 0    D = p² – 4.(-2).3 = p² + 24 > 0

         Een kwadraat + 24 is altijd groter dan 0 Þ geen oplossingen.

10a.  Gegeven : x² + 2x + p= 0   x = 1 is een oplossing Þ 1 + 2 + p = 0 Û

p = -3 Þ

x² + 2x -3 = 0 Û (x + 3)(x – 1) = 0 Û x = -3 Ú x = 1 Þ De 2^e oplossing is dus -3.

b.      px² – 11x + 10 = 0   x = 2 is een oplossing Þ 4p – 22 + 10 = 0 Û 4p = 12 Û

p = 3.

De vergelijking wordt nu : 3x² – 11x + 10 = 0   Þ  D = 121 – 4.3.10 = 1 Þ

 Ú x = 2 Þ p =3 en de andere oplossing is .

11.    Gegeven: px² + 3x + 1 = 0

a.      p = 0  Þ 3x + 1 = 0  Þ 1^e graadsvergelijking Þ 1 oplossing.

b.      Twee oplossingen Þ D > 0 Û 9 - 4p  > 0 Û -4p > -9 Û

p < 2,25

Uit onderdeel a volgt dat voor p = 0 er maar 1 oplossing is. Þ p < 2,25 en p ¹ 0.

12a.  px² + 5x + 2 = 0    Twee oplossingen Þ D > 0 Û 25 – 4.p.2 > 0 Û -8p > -25 Û

p < 3,125

Als p = 0 , dan eerste graadsvergelijking Þ 1 oplossing . Conclusie p < 3,125 en p ¹ 0.

b.      px² – 3x – 4 = 0   Twee oplossingen Þ D > 0 Û 9 -4.p.(-4) > 0 Û 16p > -9 Û

p >

Bij  p  = 0 hebben we weer 1 oplossing (1^e-gr. verg)   Conclusie : p >  en p ¹ 0.

13a.  2x² + x + p = 0    Geen oplossingen Þ D < 0 Û 1 – 4.2.p < 0 Û -8p < -1 Û p > 0,125

b.      px² + x + p = 0  Twee oplossingen Þ D > 0  Û 1 – 4p² > 0  Þ nulpunten : 4p² = 1 Û

2p = 1 of  2p = -1  Û p = 0,5  of p

= -0,5  Þ

-0,5 < p < 0,5   Als p  = 0 dan weer 1 oplossing (1^e-gr. verg)

         Conclusie : -0,5 < p < 0,5 en p¹ 0.

14a.  px² + 6x + 9 = 0   1 oplossing Þ D = 0 Û 36 – 4p.9 = 0 Û

36p = 36 Û

p = 1

Als p = 0 dan ook 1 oplossing (1^e-gr. verg)  Conclusie:  p = 0 Ú p = 1.

         Als p = 1 dan x² + 6x + 9 = 0 Û (x + 3)² = 0 Û

x = -3

Als p = 0  dan 6x + 9 = 0 Û 6x = -9 Û x = -1,5

b.      x² + px + 1 = 0   1 oplossing Þ D = 0 Û p² – 4.1.1 = 0 Û p² = 4 Û p = 2 Ú  p =

2

Als p = 2 dan  x² + 2x + 1 = 0 Û (x + 1)² = 0 Û

x = -1.

Als p = -2 dan x² – 2c + 1 = 0 Û (x – 1)² = 0 Û x = 1.

15a.  x³ = 10 heeft 1 oplossing     en   x³ = -10 heeft  ook 1 oplossing.

b.      x⁴ = 10  heeft twee oplossingen  en x⁴ = -10 heeft nul oplossingen. ( want x⁴ ³ 0)

16.a.

x	x2	x3	x4	x5	x6
1	1	1	1	1	1
2	4	8	16	32	64
3	9	27	81	243	729
4	16	64	256	1024	X
5	25	125	625	X	X
6	36	216	X	X	X
7	47	343	X	X	X
8	64	X	X	X	X
9	81	X	X	X	X

17.   

a.      x⁶ = 20   Û  

b.      5x³ = 135  Û  x³ = 27  Û  x =  3

c.      0,5x⁵ = 20  Û  x⁵ = 40  Û  x =

d.      x⁴ + 7 = 88  Û x⁴ = 81  Û x = 3 Ú x = -3

e.      1 - 3x⁵  = 97  Û  -3x⁵ = 96  Û x⁵ = -32  Û x = -2

f.       x⁸ + 3 = 10  Û x⁸  = 7  Û  x⁸ = 28  Û  x =   Ú   x =

18

a.      5x⁴ – 1 = 4  Û 5x⁴ = 5  Û  x⁴ = 1  Û  x = -1 Ú  x = 1

b.      5x⁴ = -4  Û  x⁴ = -0,8  Þ geen oplossingen

c.      5x³ -1 = 9  Û  5x³ = 10  Û x³ = 2  Û  x =

d.      8x³ + 2 = 1  Û  8x³ = -1 Û x³ =   Û  x =

e.      5x⁶ + 7 = 97  Û 5x⁶ = 90  Û  x⁶ =  18  Û  

f.       0,1x⁷ – 1 = 999 Û 0,1x⁷ = 1000  Û x⁷ = 10000 Û x =

19

a.     

b.     

c.      0,5(3x – 1)⁴ = 8 Û (3x – 1)⁴ = 16 Û 3x – 1 = 2 Ú 3x – 1 = -2 Û 3x = 3 Ú

3x = -1 Û

         x = 1 Ú x = -

d.      Û

20

a.      5x⁴ – 3 = 17 Û 5x⁴ = 20  Û x⁴ = 4 Û x =  Ú x = -

b.      4x³ – 5 = 1367 Û 4x³ = 1372 Û x³ = 343 Û x = 7

c.      3(4x – 5)³ = 15 Û (4x – 5)³ = 5 Û 4x – 5 =  Û 4x = 5 +  Û x =

d.      17 – 2(1 – 3x)⁴ = 5 Û 2(1 – 3x)⁴ = 12 Û (1 – 3x)⁴ = 6 Û 1 – 3x =  Ú 1 – 3x = -        Û

         -3x = -1 + Ú -3x = -1 - Û x =  Ú x = Û x =  Ú x =

21.    Gegeven x³ - x² – 2x = 0

a.      x³ - x² – 2x = 0  Û x(x² – x – 2) = 0 

b.      x(x² – x – 2) = 0  Û x(x – 2)(x + 1) = 0 Û x = 0 Ú x = 2 Ú x = -1

22.   

a.      x³ - 5x² + 6x = 0 Û x(x² – 5x + 6) = 0 Û x(x – 3)(x – 2) = 0 Û x = 0 Ú x = 3 Ú x = 2

b.      x³ – 5x² = 6x Û x³ - 5x² – 6x = 0 Û x(x² – 5x – 6) = 0 Û x(x – 6)(x + 1) = 0 Û

x = 0 Ú x = 6 Ú x = -1

c.      x³ = 4x² + 12x Û x³ - 4x² – 12x = 0 Û x(x² – 4x – 12) = 0 Û x(x – 6)(x + 2) = 0 Û

x = 0 Ú x = 6 Ú x = -2

d.      x⁴ - 13x² + 36 = 0  Stel x² = p Þ p² – 13p + 36 = 0 Û (p – 9)(p – 4) = 0 Û

p = 9 Ú p = 4 Û x² = 9 Ú x² = 4 Û x = 3 Ú x = -3 Ú x = 2 Ú x = -2

23.

a.      x⁴ - 10x² + 9 = 0 Stel x² = p Þ p² – 10p + 9 = 0 Û (p – 9)(p – 1) = 0 Û p = 9 Ú

p = 1 Û

x² = 9 Ú x² = 1 Û x = 3 Ú x = -3 Ú x = 1 Ú x = -1

b.      x⁴ - 8x² - 9 = 0 Stel x² = p Þ p² – 8p - 9 = 0 Û (p – 9)(p + 1) = 0 Û p = 9 Ú p = -1 Û

x² = 9 Ú x² = -1 (k.n.) Û x = 3 Ú x = -3

c.      x⁴ + 16 = 10x²   Stel x² = p Þ p² – 10p + 16 = 0 Û (p – 8)(p – 2) = 0 Û p = 8 Ú

p = 2 Û

x² = 8 Ú x² = 2 Û x = Ö8 Ú x = -Ö8 Ú x = Ö2 Ú x = -Ö2

d.      x³ + 25x = 10x² Û x³ - 10x² + 25x = 0 Û x(x² – 10x + 25) = 0 Û x(x – 5)(x – 5) = 0 Û

x = 0 Ú x = 5

24.    Gegeven:        2x⁴ - 11x² + 12 = 0

a.      Stel x² = p Þ 2p² – 11p + 12 = 0       D

= 121 – 4.2 .12 = 25 Þ

b.      x² = 4 Ú x² = 1,5 Û x = 2 Ú x = -2 Ú x = -Ö1,5 Ú x = Ö1,5

25.

a.      6x⁴ + 2 = 7x² Û 6x⁴ - 7x² + 2 = 0  Stel x² = p Þ 6p² – 7p + 2 =

0   D = 49 – 4.6.2 = 1 Þ

p =  Ú p =  Û p = 0,5 Ú p =  Û x² = 0,5 Ú x² =   Û

x = -Ö0,5  Ú x = Ö0,5  Ú  x = -   Ú x =

b.      2x⁴ = x² + 3 Û 2x⁴ - x² – 3 = 0  Stel x² = p Þ 2p² – p - 3 = 0    D = 1 – 4.2.(-3) = 25 Þ

  Û p = -1 Ú p = 1,5  Û x² = -1 (k.n.)  Ú x² = 1,5 Û x = -Ö1,5 Ú x = Ö1,5

c.      4x⁴ + 7x² = 2 Û 4x⁴ + 7x² – 2 = 0  Stel  x² = p Þ

4p² + 7p – 2 = 0    D = 49 – 4.4.(-2) = 81 Þ

 Ú  Û p = 0,25 Ú p = -2  Þ x²  = 0,25 Ú x² = -2 (k.n.) Û

x = 0,5 Ú x = -0,5

d.      16x⁴ + 225 = 136x² Û 16x⁴ - 136x² + 225 = 0  Stel  x² = p Þ 16p² – 136p + 225 = 0  

D = (-136)² – 4.16.225 = 4096  Þ   Û p = 2,25 Ú p = 6,25 Û

x² = 2,25 Ú x² = 6,25 Û x = -1,5 Ú x = 1,5 Ú x = -2,5 Ú x = 2,5

26.

a.      4x⁴ + 153 = 53x² Û 4x⁴ - 53x² + 153 = 0  Stel x² = p Þ 4p² – 53p + 153

= 0   Þ

D = (-53)² – 4.4.153 = 361  Þ p =  Ú p =  Û p = 4,25 Ú p = 9 Û

x² = 4,25 Ú x² = 9 Û x = -Ö4,25  Ú  x = Ö4,25 Ú x = 3 Ú x = -3

b.      4x⁴ + 21x² = 148  Û 4x⁴ + 21x² – 148 = 0  Stel x² = p Þ 4p² + 21p – 148

= 0   

D = 21² – 4.4.(-148) = 2809  Þ p  =   Ú p =  Û p = -9,25 Ú p = 4  Û

x² = -9,25 (k.n.)  Ú  x² = 4 Û x = -2 Ú x = 2

c.      4x⁶ + 35 = 24x³  Û 4x⁶ – 24x³ + 35 = 0  Stel x³ = p  Þ

4p² – 24p + 35 = 0   

D = 24² – 4.4.35 = 16  Þ p =  Ú p =  Û  p = 2,5 Ú p = 3,5  Û

x³ = 2,5  Ú x³ = 3,5  Û x = Ú x =   

d.      64x⁶ + 27 = 224x³  Û 64x⁶ – 224x³ + 27 = 0  Stel x³ = p  Þ

64p² – 224p + 27 = 0  Þ

D = (-224)² – 4.64.27 = 43264  Þ p =  Ú p =   Û

p = 0,125 Ú p = 3,375  Û x³ = 0,125 Ú x³ = 3,375  Û x = 0,5 Ú x = 1,5

27.

a.      De getallen zijn 7 en -7.

b.      Dan moet gelden : 2x – 1 = 7 of  2x – 1 = -7  Û 2x = 8 of 2x = -6 Û x = 4 of x = -3 Þ

de getallen zijn dus 4 en -3.

28.   

a.      ½2x - 1½ = 8 Û 2x – 1 = 8 Ú 2x – 1 = -8 Û 2x = 9 Ú 2x = -7 Û x = 4,5 Ú x = -3,5

b.      ½ x² – 3 ½ = 1 Û x² – 3 = 1 Ú x² – 3 = -1 Û x² = 4 Ú x² = 2 Û

x = 2 Ú x = -2 Ú x = -Ö2 Ú x = Ö2

c.      ½2x² – 5 ½ = 11 Û 2x² – 5 = 11 Ú 2x² – 5 = -11 Û 2x² = 16 Ú 2x² = -6 (k.n.) Û

x² = 8  Û x = -Ö8 Ú x = Ö8

d.      ½5 - x²½ = 11 Û 5 - x² = 11 Ú 5 - x² = -11 Û x² = -6 (k.n.) Ú x² = 16 Û x = 4 Ú x = -4

29.

a.      ½2x⁴ - 5½ = 15 Û 2x⁴ – 5 = 15 Ú 2x⁴ – 5 = -15 Û 2x⁴ = 20 Ú 2x⁴ = -10 (k.n.) Û

x⁴ = 10 Û x =  Ú x =

b.      ½2x³ - 5½ = 15 Û 2x³ – 5 = 15 Ú 2x³ – 5 = -15 Û 2x³ = 20 Ú 2x³ = -10 Û

x³ = 10 Ú x³ = -5 Û x =  Ú x =

c.      ½x⁴ - 5x²½ = 6 Û x⁴ - 5x² = 6 Ú x⁴ - 5x² = -6  Û x⁴ - 5x² - 6 = 0 Ú x⁴ - 5x² +6  = 0   Stel x² =  p Þ  p² – 5p – 6 = 0 Ú p² – 5p + 6 = 0 Û (p – 6)(p + 1) = 0 Ú (p – 3)(p – 2) = 0 Û

p = 6 Ú p = -1 Ú p = 3 Ú p = 2 Û x² = 6 Ú x² = -1 (k.n.) Ú x² = 3 Ú x² = 2 Û

x = Ö6 Ú x = -Ö6 Ú x = Ö3 Ú x = -Ö3 Ú x = -Ö2 Ú x = Ö2

d.      ½x⁶ – 10x³½ = 24 Û x⁶ – 10x³ = 24 Ú x⁶ – 10x³ = -24 Û

x⁶ – 10x³ – 24 = 0 Ú x⁶ – 10x³ + 24 = 0   Stel x³ = p Þ p² – 10p – 24 = 0 Ú p² – 10p + 24 = 0 Û (p – 12)(p + 2) = 0 Ú (p – 6)(p – 4) = 0 Û p = 12 Ú p = -2 Ú p = 6 Ú p = 4  Û

x³ = 12 Ú x³ = -2 Ú x³ = 6 Ú x³ = 4 Û x =  Ú x = - Ú x =  Ú x =

30.

a.     

b.        kan niet want het bereik van een wortel is groter of gelijk aan nul.

31.

a.      x = Ö(5x + 14)  kwadr. Þ  x² = 5x + 14 Û x² – 5x – 14 = 0 Û (x – 7)(x + 2) = 0  Û x = 7 Ú

 x = -2   controle: 7 = Ö(35 + 14) = Ö49   klopt  en  -2 = Ö(-10 + 4) klopt niet Þ x = 7

b.      3x = Ö(8x + 20)  kwadr. Þ 9x² = 8x + 20 Û 9x² – 8x – 20 =

0         D = b² – 4ac =                   

64 – 4.36.(-20) = 784  Þ x =  = 2 Ú x =    controle:

         6 = Ö(16 + 20) = Ö36  klopt   en     = Ö…….   kan niet  Þ x = 2

c.      5Öx = x  kwadr.  Þ 25x = x²  Û -x² + 25x = 0 Û -x(x – 25) = 0 Û x = 0 Ú x = 25   controle  Þ 5.Ö0 = 0 klopt  en  5 . Ö25 = 5 . 5 = 25 klopt ook Þ x = 0  Ú x = 25

d.      3x = Ö(18x + 72)  kwadr. Þ 9x² = 18x + 72 Û 9x² – 18x – 72 = 0 Û x² – 2x – 8 = 0  Û

         (x – 4)(x + 2) = 0 Û x = 4 Ú x = -2   controle: 12 = Ö(18 . 4 + 72) = Ö144  klopt  en 

         -6 = Ö….. kan niet   Þ x = 4

32.   

a.      4 - 3Öx = 2 Û 3Öx = 2 Û Öx =   Û x =  voldoet.

b.      5Öx – 2x = 0 Û 5Öx = 2x  kwadr.  Þ 25x = 4x² Û 4x² – 25x = 0 Û x(4x – 25) = 0 Û

x = 0 Ú x = 6,25  voldoen allebei.

c.      2x - 5Öx = 3 Û 5Öx = 2x – 3  kwadr.  Þ 25x = 4x² – 12x + 9 Û 4x² – 37x + 9 =

0 

D = (-37)² – 4.4.9 = 1225  Þ x = Ú x =   Û x = 9 Ú x = 0,25

x = 9 voldoet en x = 0,25 voldoet niet.

d.      5 - 2Öx = 3 Û 2Öx = 2 Û Öx = 1 Û x = 1 voldoet.

33.

a.      2x + Öx = 10  Û Öx = 10 – 2x  kwadr.  Þ x = 100 – 40x + 4x² Û

4x² – 41x + 100 = 0

D = (-41)² – 4.4.100 = 81  Û x =  Ú x =  Û x = 4 voldoet Ú x = 6,25  voldoet niet , want Ö6,25 ¹ 10 – 12,5

b.        kwadr.  Þ x + 12 = x² Û x² – x – 12 = 0 Û (x – 4)(x + 3) = 0 Û x = 4 Ú x = -3

x = 4 voldoet en x = -3 voldoet niet want  Ö9 ¹ -3

c.      2x + Öx = 6 Û Öx = 6 – 2x  kwadr. Þ x = 36 – 24x + 4x² Û

4x² – 25x + 36 = 0

D = (-25)² – 4.4.36 = 49 Þ x =  Ú x =  Û

x = 2,25  Ú x = 4

x = 2,25 geeft 4,5 + 1,5 = 6 klopt  en x = 4 geeft 8 + 2 ¹ 6 voldoet niet.  Þ x = 2,25

d.      10 - xÖx = 2 Û xÖx = 8  kwadr. Þ x³ = 64  Û x = 4 

controle : 10 – 4.2 = 2 voldoet Þ x = 4

34.    Gegeven :    

a.      Stel xÖx = p Þ p² + p – 6 = 0  Û (p + 3)(p – 2) = 0 Û p = -3 Ú p = 2

b.      Uit a:  xÖx = -3 Þ x³ =

9  Û x =    Controle:  .  ¹ -3   voldoet niet

2^e oplossing  xÖx = 2  Þ x³ = 4 Û x =  controle: 4 + 2 = 6    !!!!!  klopt.

35.   

a.      x³ – 9xÖx + 8 = 0   Stel xÖx = p Þ p² – 9p + 8 = 0 Û (p – 8)(p – 1) = 0 Û p = 8 Ú p = 1 Û

xÖx = 8   Ú xÖx = 1      xÖx = 8 Þ x³ = 64 Þ x = 4  of x³ = 1 Þ

x = 1

Controle: x = 4 geeft  64 – 72 + 8 = 0 klopt.

x = 1  geeft 1 – 9 + 8 = 0 klopt.

b.      x³ + 27 = 28xÖx   Stel xÖx = p  Þ p² – 28p + 27 = 0 Û (p – 27)(p – 1) = 0 Û

p = 27  Ú p = 1  Û xÖx = 27 Ú xÖx = 1  Þ x³ = 729 Ú x³ = 1 Û x = 9 Ú x = 1

x = 9 geeft   729 + 27 = 28.27 Û

756 = 756 klopt.

x = 1 geeft  1 + 27 = 28 klopt.

c.      8x³ + 8 = 65xÖx   Stel xÖx = p Þ

8p² – 65p + 8 = 0  D = (-65)² – 4.8.8 = 3969 Þ

p =  Ú p =  Û

p = 0,125  Ú p = 8  Þ

xÖx = 0,125 Ú xÖx = 8  Þ x³ =  Ú x³ = 64 Û x = 0,25 Ú x = 4

controle: x = 0,25 geeft   klopt.

x = 4 geeft   8.64 + 8 = 65.4.2 Û 520 = 520 klopt.

d.      x⁵ - 33x².Öx + 32 = 0   Stel x².Öx = p Þ p² – 33p + 32 = 0 Û (p – 32)(p – 1) = 0 Û

p = 32 Ú p = 1  Û x².Öx = 32 Ú x².Öx = 1 Þ x⁵  = 1024 Ú x⁵ = 1  Û x = 4 Ú x = 1

x = 4 geeft:  1024 – 33.16.2 + 32 = -32+32 = 0 klopt.

x = 1 geeft : 1 – 33 + 332 = 0 klopt.

36.   

a.      x³ + 30 = 11xÖx   Stel xÖx = p Þ  p² - 11p + 30 = 0  Û (p – 5)(p – 6) = 0 Û p = 5 Ú

p = 6 Û

xÖx = 5 Ú xÖx = 6  Þ x³ = 25 Ú x³ = 36 Û

x =  Ú x =   

x =  geeft  25 + 30 = 11.5 klopt

x =  geeft  36 + 30 = 11.6 klopt ook.

b.      x³ + 125 = 126xÖx   Stel xÖx = p Þ p² – 126p + 125 = 0 Û (p – 125)(p – 1) = 0 Û

p = 125 Ú p = 1 Û xÖx = 125 Ú xÖx = 1 Þ x³ = 15625 Ú x³ = 1 Û x = 25 Ú x = 1

x = 25 geeft : 15625 + 125 = 126.25.5 Û

15750 = 15750 klopt

x = 1 geeft : 1 + 125 = 126 . 1.1  klopt ook.

c.      x⁵ + 10 = 7x².Öx    Stel x².Öx = p Þ p² – 7p + 10 = 0 Û (p – 5)(p – 2) = 0 Û p = 5 Ú p = 2 Û

x².Öx = 5 Ú x².Öx = 2   Þ x⁵ = 25  Ú x⁵ = 4  Û

x =   Ú x =   

x =  geeft : 25 + 10 = 7.5

klopt  en

x =  geeft  : 4 + 10 = 7.2  klopt.

d.      32x⁵ + 32 = 1025x².Öx   Stel x².Öx = p Þ 32p²  - 1025p

+ 32 = 0  

D = 1025² – 4.32² = 1046529  Þ p =    Ú p =  Û

p =  Ú p = 32 Û

x² .Öx =  Ú x² .Öx = 32 Û x⁵ =  Ú x⁵ = 1024 Û x = 0,25 Ú x = 4 

x = 0,25 geeft  32.  + 32 = 1025. Û

32 = 32 klopt.

x = 4 geeft 32.1024 + 32 = 1025.32  Û 32800 = 32800 klopt.

37.    x - Öx = 12  

         Mijn voorkeur is substitutie. Stel Öx = p Þ p² – p – 12 = 0 Û (p – 4)(p + 3) = 0 Û

p = 4 Ú p = -3 Û Öx = 4 Ú Öx = -3 (k.n.)  Û

x = 16

x = 16 geeft 16 – 4 = 12 klopt.

38.     

a.      Kruistabel is hetzelfde als kruislings vermenigvuldigen Þ x² = 2(x + 4) Û

x² – 2x – 8 = 0

b.      x² – 2x – 8 = 0 Û (x – 4)(x + 2) = 0 Û x = 4 Ú x = -2  voldoen allebei.

39.

a.      x(x + 3) = 10(x – 1) Û x² + 3x = 10x – 10 Û x² – 7x + 10 = 0  Û                     

(x – 5)(x – 2) = 0  Û x = 5 Ú x = 2  bij deze waarden zijn de noemers niet 0  Þ goede opl.

b.        Þ  (2x + 3)(x – 1) = (2x + 2)(x + 1)  Û 2x² – 2x + 3x – 3 = 2x² + 4x + 2  Û  x – 4x = 3 + 2  Û -3x = 5  Û x =    voldoet ( noemers zijn dan niet 0)

c.        Þ 3(x + 1) = 2(x – 3)  Û 3x + 3 = 2x – 6 Û x = -9  voldoet

d.       + 1 = 3  Û  = 2  Þ x – 1 = 2x  Û -x = 1 Û x = -1   voldoet

e.       Þ x(3x + 4) = (x – 1)(x + 18)  Û 3x² + 4x = x² + 18x – x – 18  Û                 2x² – 13x + 18 = 0     D = (-13)² – 4.2.18 = 25  Þ x =  Ú x =   Û

x = 4,5 Ú x = 2   de oplossingen voldoen (noemers niet 0)

f.         Þ (x + 2)(4 – x) = (2x – 5)(3x – 4)  Û                                                                 4x - x² + 8 – 2x = 6x² – 8x – 15x + 20  Û -7x² + 25x -12 = 0   Þ  D = 25² – 4.(-7).(-12) =

289   Þ  x =   Ú x =   Û x =   Ú  x = 3  voldoen , want de noemers zijn dan niet 0.

40.   

a.       Û 5x²  - 15 = 0 Û x² = 3 Û x = Ö3 Ú x = -Ö3 voldoen.

b.       Û x² – 3 = x – 1 Û x² – x – 2 = 0 Û (x – 2)(x + 1) = 0 Û x = 2 Ú x = -1 voldoen

c.       Þ x² – 4 = 0 Ú 2x + 5 = x + 4 Û x = 2 Ú x = -2 Ú x = -1  voldoen alle drie.

d.       Þ x² + 1 = x + 3 Û x² – x – 2 = 0 Û (x - 2)(x + 1) = 0 Û x = 2 voldoet Ú

x = -1  voldoet niet !!

41.   

a.        Û 3x² – 10 = 2x² + 2 Û x² = 12 Û x = Ö12 Ú x = -Ö12  voldoen.

b.       Û x³ – 8 = 0 Ú x² + 2 = x + 8  Û x³ = 8 Ú x² – x – 6 = 0 Û

x = 2 Ú (x – 3)(x + 2) = 0 Û x = 2 Ú x = 3 Ú x = -2   voldoen alle drie.

c.       Þ 2(x² +1)² = 25(3x² – 10)   Stel x² = p  Þ

2(p + 1)² = 25(3p – 10)  Û 2(p² + 2p + 1) = 75p – 250 Û 2p² + 4p + 2 –

75p+ 250 = 0 Û

2p² -71p + 252 = 0   Þ  D = (-71)² – 4.2.252 = 3025 Þ

p =   Ú p =  Û p = 4 Ú p = 31,5 Û x² = 4 Ú x² = 31,5 Û

x = 2 Ú x = -2 Ú x = Ö31,5 Ú x = -Ö31,5  voldoen alle vier.

d.       Þ 4(x² – 1)² = 3(6x² – 12)   Stel x² = p  Þ 4(p – 1)² = 3(6p – 12) Û

4(p² – 2p + 1) = 18p – 36 Û 4p² – 8p + 4 – 18p + 36 = 0 Û

4p² – 26p + 40 = 0   Þ

D = (-26)² – 4.4.40 = 36  Þ p =  Ú p =  Û p = 2,5 Ú p = 4  Û

x² = 2,5 Ú x² = 4 Û x = Ö2,5 Ú x = -Ö2,5 Ú x = 2 Ú x = -2  voldoen alle vier.

42.    l : y = -0,25x + 3

a.      (0,3) op l Þ  3 = -0,25 . 0 + 3  klopt ; Verder ligt voldoet (0,3) ook aan de

vergelijking

x + 4y = 12 want  0 + 4.3 = 12.

b.      (4,2) ligt op l want 2 = -0,25.4 + 3.

c.      y = -0,25x + 3    * 4   Û 4y = -x + 12 Û x + 4y = 12.

x	0	2
y	-6	0

43. l:  3x –y = 6 

x	0	1
y	1	0

m:x + y  = 1

n : x – y = 0 Þ y = x

x	0	4
y	2	0

p: x +2y = 4 

44.    l: 4x – 3y = 24 

a.      Snijpunt

x-as Þ y = 0 Þ 4x = 24 Û x = 6 Þ snijpunt is (6,0)

Snijpunt y-as Þ x = 0 Þ -3y = 24 Û y = -8 Û snijpunt (0,-8)

b.      A(8,3)  :  4.8 – 3.3 = 32 – 9 = 23 ¹ 24 Þ

A ligt niet op l.

B(18,16) : 4.18 – 3.16 = 72 – 48 = 24  Þ B ligt op l.

C(-30,-48) :  4.(-30) – 3.(-48) = -120 +144 = 24 Þ C ligt ook op l.

c.      x = 16 en y = p voldoen aan 4x – 3y = 24 Þ 4.16 – 3.p = 24 Û 64 – 3p = 24 Û

3p = 40

Û p = .

d.      Dan geldt: 4q – 3.48 = 24 Û 4q = 168 Û q = 42

x	0	1,5
y	3	0

45.    Gegeven: l: 2x + y = 3  en  m: x – 2y

= 4

l:

x	0	4
y	-2	0

         m:       

b.      Na aflezen is het snijpunt (2,-1)

c.      (2,-1) voldoet aan beide vergelijkingen

want:

2.2 – 1 = 3 en 2 -2.(-1) = 4.

46.

a.     

b.     

c.     

47.

a.       Als je nu optelt dan krijg je : 5x – y = 23  Er is dus geen variabele verdwenen.

b.       Als je aftrekt dan krijg je: x  - 7y = -9    Er is dus ook hier geen variabele verdwenen.

48.

a.     

b.     

c.     

49.

a.     

b.     

c.     

50.     We moeten het bijbehorende

stelsel oplossen Þ

          Þ Het snijpunt van de lijnen l en m is  (2,9)

51.    Gegeven : y = x² + bx + c       door (1,-2) en (2,3)

a.      Parabool door (1,-2) Þ -2 = 1 + b + c Û b + c = -3

b.      Door (2,3) Þ 3 = 4 +2b + c Û 2b + c = -1  

c.      We hebben dus een stelsel met onbekenden b en c.   Oplossen Þ

52.    Gegeven y = ax² + c   

door (1,8) en (2,17) Þ

8 = a + c   en  17 = 4a + c  Þ

  Þ De formule is dus:  y = 3x² + 5

53.    k  door (2,8) Þ 2a + b = 8   en  l door (2,8) Þ 2b + a = 8  Þ

54.   

a.      y = x² + px + q    snijdt  y = 2px – q in (2,-1)  Þ

4 + 2p + q = -1  en  4p – q = -1  Þ

b.      Nu y = x² – x – 3  snijden met y = -2x -3  Þ x² – x – 3 = -2x + 3 Û x² + x – 6 = 0 Û

(x + 3)(x – 2) = 0 Û x = -3 Ú x = 2  Þ De snijpunten zijn (-3 , 9) en (2 , -1) (al bekend)

55.      door(-2,-10)  en (0,4)  Þ

  Û

 a = -  ; b = 4 en c = 4 Þ De formule is nu :  

56.    Snijpunt van l en m Þ

 Þ

Het snijpunt is dus (3,2)

57.   

a.       

b.     

c.     

58.

a.        Û -x² + x + 3 = -3 Û x² – x -6 = 0 Û (x – 3)(x + 2) = 0 Û

x = 3  Ú x = -2    Als x = 3 dan y  = 6   en als x = -2 dan y = 1  Þ oplossing:   (3,6) en (-2,1)

b.        x² + 25 – 30x + 9x² = 25 Û 10x² – 30x = 0 Û

10x(x – 3) = 0 Û x = 0 Ú x = 3  Þ

Als x = 0 dan y = 5  en als x = 3 dan y = -4  Þ  oplossing: (0,5)  en  (3,-4)

c.        We weten dat  (x + y)² = x² + 2xy + y²   Þ   

Þ     1) 6x - x² = 8 Û x² – 6x +8 = 0 Û (x – 4)(x – 2) = 0 Û x = 4 Ú x = 2  Þ

als x = 4 dan y = 2   en als x = 2 dan  y = 4

2) -6x - x²  = 8 Û x² + 6x + 8 = 0 Û (x + 2)(x + 4) = 0 Û x = -2 Ú x = -4  Þ

als x = -2 dan  y = -4   en als x = -4 dan y = -2

Totale oplossing:  (4,2) ; (2,4) ; (-2,-4)  en  (-4,-2)

59.    I : substitutie  x² = p geeft een 2egraadsvergelijking en die is op te lossen.

         II:  niet direct oplosbaar.

         III: x⁴ – x³ - 2x = 0 Û x(x³ - x² – 2) = 0 geeft x = 0 en x³ - x² – 2 = 0 Deze laatste vergelijking geeft problemen.

         IV: x⁴ – x³ - 2x² = 0 Û x²(x² – x – 2) = 0  Û x = 0 Ú x² – x – 2 = 0  Deze vergelijking is dus op te lossen.

60.      

a.      Aflezen van de snijpunten geeft

(-1,0)   ; (1,0) ; (2,0) en (3,0) Þ

De x-coördinaten zijn dus : -1 ; 1 ; 2  en 3.

b.      Controle : (-1,0) :  (-1)⁴ -5.(-1)³ + 5.(-1)²  + 5.(-1) – 6 = 1+5+5-5 -6 = 0 klopt.

(1,0) :  1 -5.1 +5.1 + 5.1 – 6 = 0 klopt.

(2,0) :  16 – 5.8 + 5.4 + 5.2 – 6 = 16 – 40 + 20 + 10 – 6 = 0 klopt.

         (3,0) : 81 – 5.27 + 5.9 + 5.3 – 6 = 81 – 135 + 45 + 15 – 6 = 0 klopt.

61.

a.      Aflezen geeft de snijpunten (-1,2) ; (2,1) en (4,-2) Þ De x-coördinaten zijn dus : -1 ; 2 en 4.

b.      Nu de controle:  x = -2:  0,5.(-8)  – 2.4 -4.(-2) + 8 = -0,5.(-8) + 2.4 -8  Û

-4  - 8  + 8 + 8 = 4 + 8 – 8  Û

4 = 4  en dit klopt inderdaad.

Nu bij x = 2 :  0,5.8 – 2.4 – 4.2 + 8 = -0,5.8 + 2.4 – 8 Û 4 – 8 – 8 + 8 = -4 + 8 – 8  Û

-4 = -4 en dit klopt.

Nu bij x = 4 :  0,5.64 – 2.16 – 4.4 + 8 = -0,5.64 + 2.16 – 8 Û

32 – 32 – 16 + 8 = -32 + 32 – 8 Û

-8 = -8 en dit klopt  Þ

De oplossingen van de vergelijking zijn : x = -2 Ú x = 2 Ú x = 4

62.   

a.      x³ - 4x² + 3  = 0  Voer in : y₁ = x³ - 4x² + 3    

Met de optie zero vinden we x » -0,79   ; x = 1 Ú x » 3,79

b.      x⁴ – 4x³ + 2x² + x – 1 = 0  Voer in  y₁ = x⁴ – 4x³ + 2x² + x –

1 

Met optie zero vinden we : x » -0,58 Ú x » 3,34.

c.      0,4x³ + 2x² + x – 2 = x + 2 Û 0,4x³ + 2x² – 4 = 0    Voer in : y₁ = 0,4x³

+ 2x² – 4 

Met de optie zero vinden we x » -4,51 Ú x » -1,76 Ú x » 1,26

d.      0,2x⁵ – x⁴ + 4x² = 0,2x + 3    Voer nu in : y₁ = 0,2x⁵ – x⁴ + 4x²en y₂ = 0,2x + 3 en neem b.v. het window [-5,5] X [-4,6]  Zie ook het scherm:

Nu vinden we met de optie intersect :

x » -1,45 Ú x = -1 Ú x = 1 Ú x = 3 Ú x » 3,45

63.

a.      0,5x³ - 5x² + 20 = 0  Voer in y₁

= 0,5x³ - 5x² + 20 

Met de optie zero vinden we : x » -1,84 Ú x » 2,28 Ú x » 9,56

b.      0,1x⁴ + 0,1x³ - 12x² + 50 = 25x Û 0,1x⁴ + 0,1x³ - 12x² + 50 – 25x

= 0 

Voer in : y₁ = 0,1x⁴ + 0,1x³ - 12x² + 50 - 25x  Neem b.v. het window [-12,12] en pas zoomfit toe.  De snijpunten met de x-as zijn nu goed zichtbaar. Met de

optie zero vinden we :

x = -10 Ú x » -3,53 Ú x » 1,26 Ú x » 11,27.

64.

a.      ½x³ – 9x½ = 5   Voer in  y₁ = ½x³ – 9x½  en y₂ = 5  en neem b.v. het window [-1,8] X [-2 , 9]

         Met intersect vinden we :x » -3,25 Ú x » -2,67 Ú  x » -0,58 Ú x » 0,58 Ú x » 2,67 Ú x » 3,25

b.      ½x³ – 9x½ = x + 5       Voer in  y₁ = ½x³ – 9x½  en y₂

= x + 5  en neem b.v.

het window [-1,8] X [-2 , 9]

Met intersect vinden we : x = 3,39 Ú x » 2,44 Ú  x » 0,66 Ú x » -0,51 Ú x » -3,10 Ú x » -2,87.

65

a.      ½x⁴ – x³ + x - 5½ = x + 3 Voer in y₁ = ½x⁴ – x³ + x - 5½ en y₂ = x + 3 

Neem b.v. het window [-4,4] X [-2 ,

10]   Met intersect vinden we :

x » -1,48 Ú x » -1,26 Ú x = 1 Ú x = 2.

b.      ½x³ - 5x² – 2x + 24½ = 20    Voer in : y₁ = ½x³ - 5x² – 2x + 24½ en y₂ = 24 

Neem na wat zoeken , het window [-7,7] X

[0 , 30]

Met intersect vinden we : x » -2,55 Ú x = -1 Ú x  » 0,76 Ú x » 5,24

c.      ½x² – 4x½ = ½x² + 2x - 3½      Voer in : y₁ = ½x² – 4x½ en y₂ = ½x² + 2x- 3½ en neem b.v. het window [-6,6] X [-2,8]

         Met intersect vinden we x » -0,82 Ú x » 0,5 Ú x » 1,82.

d.      ½ x³ - 4x² – 3x + 10½ = 0  Voer in : y₁ = ½ x³ - 4x² – 3x + 10½

 Neem b,v het window [-6,6] X [-10,10]  Met zero vinden we :

         x » -1,63 Ú x » 1,48  Ú x » 4,14.

66.   

a.      Voer in y₁ = f(x) =  -x² + 6x  en  y₂ = g(x) =  x + 4  Met intersect vinden we: x = 1 en x = 4  .

b.      We gaan eerst kijken in de schets van het

boek. We lezen dan af: f ligt boven g  voor :

1 < x < 4.

67.   

a.      x² – 3x  £ 14 Û x² – 3x – 14 £ 0   Voer in : y₁ = x²

– 3x – 14  Met de optie zero vinden we :

x » -2,531  Ú x  » 5,531   Verder

lezen we af uit de schets :

 - 2,531 £ x £ 5,531

b.      x² + 2x > 11 Û x² + 2x – 11 > 0  Voer in : y₁ = x² + 2x – 11

Met de optie zero vinden we : x » -4,464  Ú x » 2,464

         We lezen vervolgens af uit de schets :

         x < -4,464 Ú x > 2,464

c.      8x² + 6x – 35 ³ 0  Voer in : y₁

= 8x² + 6x – 35

Met de optie zero vinden we : x = -2,5  Ú x =  1,75

         We lezen vervolgens af uit de schets

         x £  -2,5 Ú x ³ 1,75

d.      x³ + 4,5x² < 19x + 60 Û x³ + 4,5x² – 19x – 60 < 0

Voer in : y₁ = x³ + 4,5x² – 19x - 60

Met de optie zero vinden we : x = -6  Ú x =  -2,5 Ú

 x = 4

         We lezen vervolgens af uit de schets

         x < -6   Ú  -2,5 < x < 4

68.

a.      x² – 5x < 14 Û x² – 5x – 14 < 0

Nulpunten: (x – 7)(x + 2) = 0 Û

x = 7 Ú x = -2

         Nu de schets. Daar lezen we af :

x² – 5x – 14 < 0  voor : -2 < x < 7

b.      2x² – 3x ³ 2 Û

2x² – 3x – 2 ³ 0

Nulpunten: 2x² – 3x – 2 = 0  Þ

D = 9 – 4.2.(-2) = 25

x =  = 2  Ú x = =-0,5

         Nu de schets. Daar lezen we af :

2x² – 3x – 2 ³ 0  voor : x £ -0,5 Ú x ³ 2

c.      x² – 4x £ -x² – 5x + 6 Û 2x² + x – 6 £

0

Nulpunten uit  2x² + x – 6 =

0  Þ

D = 1 – 4.2.(-6) = 49  Þ

x =  = -2 Ú x = = 1,5

Schets en vervolgens aflezen Þ

         -2 £ x £ 1,5

d.      x³ + 2x² > 3x Û x³ + 2x² – 3x > 0

Nulpunten uit : x³ + 2x² – 3x = 0 Û

x(x² + 2x – 3) = 0 Û x(x

+ 3)(x – 1) = 0

Û x = 0 Ú x = -3 Ú

x = 1

Schets en vervolgens aflezen Þ

-3 < x < 0 Ú x  > 1

69.

a.      0,1x³ - 2x² + 8x + 10 ³ -x + 15 Û

0,1x³ - 2x² + 9x – 5 ³ 0

         Voer in : y₁ = 0,1x³ - 2x² + 9x – 5 

en

neem b.v. het window [-5,15] X

[-18,12]

Met de optie zero vinden we :

x » 0,65 Ú x » 5,66 Ú x » 13,69

Schets en vervolgens aflezen geeft :

0,65 £ x £ 5,66 Ú x ³ 13,69

b.      -0,5x⁴ + 3x³ - 4x² + 8 ³ x + 7 Û

-0,5x⁴ + 3x³ – 4x² – x + 1 ³ 0

Voer in : y₁ = -0,5x⁴ + 3x³ – 4x²

– x + 1 en

neem b.v. het window [-5,5] X [-6,6]

Met de optie zero vinden we :

x » -0,52 Ú x » 0,45 Ú x » 2,29 Ú x » 3,78

         Schets en vervolgens aflezen geeft :

-0,52 £ x £ 0,45 Ú 2,29 £ x £ 3,78

c.      ½x³ – 10x½ £ 2x + 8

Voer in : y₁ = ½x³ – 10x½  en y₂ = 2x + 8

         en neem b.v. het window [-5,5] X [-10 , 20]

Met de optie intersect vinden we de snijpunten 

Þ

x » -3,24 Ú x » -3,06 Ú x » -0,69 Ú x » 1,24 Ú

x = 2 Ú x »

3,76

Schets en vervolgens aflezen geeft :

         -3,24 £ x £ -3,06 Ú -0,69 £

x £ 1,24 Ú

2 £ x £ 3,76

d.      ½x⁴ +x²

- 5x - 10½ £ 8 - ½2x - 4½

Voer in : y₁ = ½x⁴ + x² – 5x – 10½  en y₂ =  8 - ½2x - 4½

         en neem b.v. het window [-3,5] X [-5 , 15]

Met de optie intersect vinden we de snijpunten  Þ

x » -1,32 Ú x » -1,10 Ú x » 1,69 Ú x » 2,21

Schets en vervolgens aflezen geeft :

         -1,32 £ x £ -1,10 Ú 1,69 £ x £ 2,21

70.    Gegeven : x² + px + p = 0

a.      D = p² – 4.1.p = p² – 4p

b.      Dan moet gelden : p² – 4p  > 0.

71.   

a.      x² + px + 3p = 0  2 oplossingen Þ D > 0 Û

p² – 4.3p  > 0 Û

p² – 12p  > 0

Nulpunten : p² – 12p  = 0 Û p(p

– 12) = 0 Û

 p = 0 Ú

p = 12

Schets en aflezen Þ

p < 0 Ú p > 12

b.      Gegeven: px² + (p – 4)x + 0,5 = 0

2 oplossingen Þ D > 0 Þ

(p – 4)²  - 4.p.0,5 > 0  Û

p² – 8p + 16 – 2p > 0 Û

p² – 10p + 16 > 0

Nulpunten : p² – 10p + 16 = 0 Û (p – 8)(p – 2) = 0

Û p = 8 Ú p = 2  

Schets en aflezen geeft :

p < 2 Ú p > 8  Apart : Als p = 0 dan is er een eerstegraadsvergelijking Þ p = 0 doet dus niet mee. Þ p < 2 Ú p > 8 Ù p ¹ 0.

c.      px² + (p – 3)x  = 4 Û px² + (p – 3)x - 4 = 0

Geen oplossingen als D < 0 Þ

(p – 3)²  - 4.p.(-4) < 0  Û

p² – 6p + 9 + 16p < 0 Û

p² + 10p + 9 < 0

Nulpunten : p² + 10p + 9 =0 Û (p + 9)(p + 1)=0

Û p = -9 Ú p = -1 

         Schets en aflezen geeft :  -9 < p < -1

         Als p = 0 dan is er een eerstegraadsvergelijking Þ p = 0 doet dus niet mee. Þ

-9 < p < -1   Ù p ¹ 0.

72a.  Vergelijking   x² +(p² – 2)x + 12,25 = 0  Þ

2 oplossingen Þ D > 0 Û (p² – 2)² –

4.1.12,25 > 0

Û (p² – 2)² – 49

> 0   Þ Nulpunten :

(p² – 2)² – 49 = 0 Û (p² – 2)² = 49 Û

p² – 2 = 7 Ú p² – 2 = -7 Û

 p² = 9 Ú p² = -5 (k.n.)  Û

p = 3  Ú

p = -3

Schets en aflezen geeft :  

p < -3  Ú p > 3

b.      px³ +p²x² – 16x = 0  Û

x(px² + p²x – 16) = 0

3 oplossingen Þ De 1e oplossing is x = 0 die al buiten

haakjes gehaald is.

Nu moet dus verder de 2^e factor 2 oplossingen geven Þ

px² + p²x – 16

=0  2 oplossingen Þ D > 0 Û

p⁴ – 4p.(-16) > 0 Û p⁴ + 64p >

0

Nulpunten Þ p⁴ + 64p = 0 Û

p(p³ + 64) = 0 Û p = 0 Ú p³ = -64 Û

p = 0 Ú p = -4  

         Uit de schets lezen we af : p < -4 Ú p > 0

c.      px³ + 2px² - 3x² + 0,25x = 0 moet 1 oplossing geven.

De zekere oplossing krijg je door x

buiten haakjes te halen .

x = 0 is dan zeker een oplossing. Þ

x(px² + 2px – 3x + 0,25) = 0 Û x = 0 Ú

px² + 2px – 3x + 0,25 = 0   Deze laatste

moet dus geen oplossing krijgen. Þ

 D < 0  Þ

a = p ; b = 2p – 3 en c = 0,25 Þ D < 0 Û

(2p – 3)² – 4.p.0,25 < 0 Û

4p² – 13p + 9 < 0

Nulpunten :  Þ