Evolutie van Navigatie

Inleiding.

Waarom hebben we dit onderwerp gekozen?
Wij hebben dus het onderwerp navigatie gekozen om een PO over te maken. Eerst wilden we een PO maken over zeilen (uit Getal & Ruimte NG/NT 3), maar terwijl we informatie hierover zochten kwamen we uit op een site over navigatie. Aangezien we hier vorig jaar, bij ANW, al wat over hadden gehad wisten we dat wiskunde in dit onderwerp een erg belangrijk onderdeel is. Het leek ons allebei leuker om er meer over te weten te komen, dus zijn we verdergegaan met het onderwerp navigatie.

Navigatie
Elk mens gaat wel eens op visite bij iemand of ergens anders naar toe op weg. Om daar te komen moet je weten waar je bent en waar je precies heen wilt. Hoe kun je dat weten? De meeste mensen gebruiken daar landkaarten, kompassen en tegenwoordig zelfs GPS voor. Deze middelen helpen je te navigeren en je zo op de plek van bestemming te brengen. Iedereen maakt dus gebruik van navigatiemiddelen. Alleen wat veel mensen niet weten is: hoe zijn ze ontstaan? In ons werkstuk gaan we deze vraag en de ontwikkelingen ervan onderzoeken.

Veel plezier met ons werkstuk……..!

Hoe de eerste mens navigeerde.

Navigatie is de kunst om van A naar B te komen, zowel veilig als efficiënt. Als je naar je werk gaat of naar een winkel dan gebruik je de allereerste vormen van navigatie. Maar wat moet je doen als je op een plaats bent waar je niks herkent, zoals bijvoorbeeld het midden van de Atlantische oceaan?

De eerste grote handelsschepen werden omstreeks 3500 voor Christus gebouwd en dit is dan ook het begin zijn van navigatie. Deze eerste schepen voeren langs de kust en navigeerden aan de hand van herkenningspunten, zoals bergen, inhammen, steden, etc. Ook maakten ze gebruik van een windroos, deze was verdeeld in 16 richtingen: noord, noord-noord-oost, noord-oost, oost-noord-oost, oost, oost-zuid-oost, zuid-oost, zuid-zuid-oost, zuid, zuid-zuid-west, zuid-west, west-zuid-west, west, west-noord-west, noord-west, noord-noord-west.
Dit zijn de richtingen waarvan ze dachten dat de wind vandaan kwam. Aan de hand van een windroos kun je, als je weet waar de wind vandaan komt, makkelijk zien waar het noorden is en zo je route volgen. Ze zeilden vaak overdag en zochten ‘s avonds een haven of een rustige plaats op om voor anker te gaan. Ze hadden nog geen landkaarten maar een lijst van richtingen net zoals een routebeschrijving.

Breedtebepaling.
Als het land niet meer in zicht was kon de navigator altijd de breedtegraad (Noord-Zuid) bepalen aan de hand van de hoogte van de zon gedurende de dag en de poolsterren gedurende de nacht.

De poolsterren staan recht boven de polen, ook staan ze heel ver van de aarde zodat de 2 verticale lijnen in de tekening evenwijdig lopen. Hierdoor is hoek A gelijk aan hoek B.
Hoek A is te bepalen met verschillende instrumenten die in de loop van de tijd zijn geëvolueerd.
Een van de eerste instrumenten (±1100 n.Chr.) was dit kruis. Het bestaat maar uit 2 delen, een vierkante stok met aan het uiteinde een spiegel en een dwarsstuk dat over de stok heen en weer kan bewegen (zie afb. rechts).
Het instrument is groot, want zo krijg je nauwkeurigere metingen. Dit maakt het alleen wel zwaar en dus moeilijk om te gebruiken, vooral op
een deinend schip. Het instrument is ongeveer nauwkeurig tot op een paar graden mits de omstandigheden meezitten.

Plaatsbepaling m.b.v. sterren
Het instrument werkt door het bijna geheel boven je hoofd te tillen en vervolgens vlak onder het dwarsstuk door naar het spiegeltje te kijken. Vervolgens moet je het spiegeltje gelijk met de horizon zetten en zorgen dat je de poolster kan zien in het spiegeltje.
Dan moet je het dwarsstuk verschuiven zodat als je er vlak onderdoor kijkt je door het spiegeltje de poolster kan zijn ter hoogte van het andere uiteinde van het dwarsstuk.
Vervolgens is de hoek te berekenen door de halve lengte van het dwarsstuk te delen door de afstand van het spiegeltje tot het dwarsstuk hier de inverse tangens van te nemen en dit te vermenigvuldigen met 2.
In deze tijd had men alleen nog geen rekenmachine en daarom staat op de vierkante stok met spiegel een reeks van getallen die precies het aantal graden aangeven. Er zijn nog meerdere uitvoeringen van dit kruis, maar omdat allemaal via hetzelfde principe werken is dit verder niet interessant voor dit werkstuk.
Een ander instrument om de hoogte van de poolsterren te berekenen is het astrolabium (zie afb. rechts). Deze bestaat ook uit 2 delen, een ronde plaat met daarop een wijzer. Het is gemaakt van ijzer en hangt aan een touw zodat hij altijd recht naar beneden hangt. Om de hoogte van de poolster te meten moet je hem helemaal vrijhangen en de wijzer draaien zodat het licht van de ster of zon door de draaibare arm valt op het scherm op de arm. Vervolgens is aan de hand van de schaalverdeling makkelijk af te lezen wat de hoogte is of wat je breedte is van je huidige positie. Met dit instrument was je positie tot op een paar graden nauwkeurig te bepalen.

Het kwadrant (links) is ook een instrument om hoeken te bepalen. Het was een van de meest gebruikte dingen van Columbus. Het was eenvoudig te gebruiken door langs de rand af te kijken naar de ster (zie afb.) en de waarde af te lezen die de pendule aangeeft.
Op dit instrument staan meerdere schaalverdelingen zoals tangens en graden zodat het ook gebruikt kon worden in bijvoorbeeld architectuur.
Dit instrument is tot op graden nauwkeurig.

Het kwadrant

Het laatste en waarschijnlijk beste instrument om de hoogte van sterren te bepalen is de sextant (rechts).
De sextant is een stuk geavanceerder dan vorige instrumenten en is preciezer. Het bestaat ook uit 2 delen, een frame waarop een spiegel, telescoop, horizon glasschaalverdeling en een handvat zitten en een arm met een spiegel, een afleesraam en een schroef om de arm vast te zetten.
De Sextant meet eigenlijk de hoek tussen 2 lichtbundels. Het brengt deze bundels samen in een telescoop zodat het beeld wordt vergroot en dus de precisie groter wordt.

Sextant.

De Sextant gebruikt 2 spiegels om de lichtbundel van de ster te leiden. De onderste spiegel zit vast op het frame en kan niet bewegen, de bovenste spiegel zit op de arm die draait in punt E (zie afb.). Als de arm goed staat dan is de ster te zien door de telescoop.
De afbeelding links is een schematische tekening van de spiegels op de sextant.
Hoek A is gelijk aan hoek B en hoek C is constant namelijk lijnstuk 1 gedeeld door lijn 2 (hoek D is nu 90graden). Deze lijnstukken zijn gelijk, de hoek is dus 45 graden.
Hoek D is te verplaatsen naar punt E, waar de arm draait.
Hoek F is de hoek die je wil meten en uitgedrukt in A,B,C,D is dit: F=180-A+B-C , D=A+45 d.w.z.
D-45=A, A=B dus F=180-2A-C C=45 dus F=180-2A-

45 = F=135-2A. D is de enige hoek die je kunt meten en A=D-45. A vervangen door D F=135-2(D-45). De schaalverdeling is met deze formule gemaakt en door het venster in de arm is dus makkelijk en nauwkeurig de hoogte van de ster af te lezen. Om de hoogte van een ster te meten met een sextant moet je dus door de telescoop naar de horizon kijken, richting de ster, vervolgens de horizon met de bovenkant van de onderste spiegel samen laten vallen. Dan moet je de arm bewegen zodat de ster zichtbaar word en vervolgens de ster op gelijke hoogte zetten,met de arm, met de horizon. Als je dit gedaan hebt draai je met de schroef aan de onderkant van de arm de arm vast en dan kan je de hoogte aflezen.

Richtingbepaling.
Om goed te kunnen reizen moet je natuurlijk weten welke richting je op gaat en welke richting je heen moet. Hiervoor zijn meerdere manieren bijvoorbeeld aan de hand van de zon of aan de hand van de wind of met een kompas. Hiervan is de laatste, het kompas, het betrouwbaarste.
Het kompas is omstreeks 1100 ontdekt in China. Het waren niet meer dan een gemagnetiseerde naald op een stukje hout in een bak met water. In China werd het alleen nog op land gebruikt maar de Arabieren pasten het al toe op schepen. Over het kompas plaatste men vaak een windroos en deze werd dus bekent als een kompasroos. Al gauw had elk schip op de Middellandse Zee een kompas aan boord. Dit maakte het mogelijk om ver uit de kust te varen en dus een kortere route te nemen. De windroos bestaat maar uit 16 richtingen en was dus nog erg onnauwkeurig, pas wanneer werden “ontdekt” werd het kompas echt een goed instrument toen de Graden werden bedacht en sindsdien is het dan ook weinig veranderd.

Om een kompas te kunnen gebruiken moet je beschikken over een goede kaart. In 1300 werden kaarten voor het eerst gebruikt om mee te navigeren. Deze kaarten waren erg waardevol mede omdat ze zeldzaam waren maar ook omdat je zo beter kon handelen. Je kon immers op plaatsen komen waar anderen de weg niet naartoe wisten. De ze eerste kaarten waren nog wel erg primitief (zie afb. rechts boven) en gaven bijna alleen grote steden aan en een kustlijn. Voor het uitrekenen van je eigen positie kunnen we gebruik maken van twee verschillende methoden:
• Kruismeting (het snijpunt van twee verschillende lijnen)
• Driehoeksmeting (de snijpunten van drie lijnen die een klein driehoekje vormen)

Kruismeting is de makkelijkste van de twee, simpelweg omdat het minder werk en tijd kost. Daarmee is deze methode vaak ook iets minder nauwkeurig als de driehoeksmeting. Voor een kruismeting zoek je twee herkenbare (en op de kaart bekende!) objecten, berg stad etc, in de omgeving die dusdanig uit elkaar liggen dat de hoek tussen hen tussen de 45° en de 135° is. Bij een hoek die kleiner of groter is wordt de methode namelijk minder nauwkeurig.
Bepaal nu eerst de richtingshoek naar het eerste object. Dit doe je door het kompas op het object te richten en vervolgens de kompasroos dusdanig rond te draaien totdat het noorden van de roos precies gelijk staat met het noorden dat je kompasnaald aanwijst. Leg vervolgens het kompas op de kaart en draai het kompas net zolang rond totdat de lijnen van de kompasroos parallel lopen met de lijnen naar het (magnetische) noorden van de kaart. Nu zorg je ervoor dat je kompashuis of de kompasplaat tegen het object dat je zojuist hebt gepeild ligt zodat je een rechte lijn kunt trekken vanaf dat object tot de richting waarvan je denkt dat je je ongeveer bevindt. Vervolgens doe je hetzelfde met het andere object: peilen en hoek meten, hoek overbrengen naar de kaart en vervolgens een lijn trekken. Je zult zien dat de twee lijnen elkaar ergens snijden: dit is de plek waar jij je ongeveer bevindt.

Bij een driehoeksmeting doe je precies hetzelfde als bij de kruismeting, alleen maak je nu gebruik van drie objecten en dus drie lijnen. Daar waar de lijnen elkaar snijden ontstaat vaak een heel klein driehoekje, vandaar de naam driehoeksmeting. Jij bevindt je in het midden van dat driehoekje.

Snelheidsbepaling
Met de komst van landkaarten kon men makkelijk bijhouden waar men ongeveer was. Dit werd vergemakkelijkt door de komst van soort van snelheidsmeter.
Het ding bestaat uit een verzwaarde plank die men aan een touw met knopen erin achter uit de boot gooide.

Snelheidsmeter
Vervolgens timede men met behulp van een zandloper een vast tijdsinterval waarna men de rol met touw vast zette. Dan was het een kwestie van knopen tellen als men het touw binnen haalde en men had een indicatie van snelheid in knopen. Met deze methode werkte men vanaf 1500. Door het aantal knopen te vermenigvuldigen met de tijd dat ze gevaren hadden wist men de afgelegde afstand. Deze kon men, samen met hun koers of begin en eind breedtegraad, op een kaart tekenen. Zo kon men zien waar men was. Tegenwoordig is deze manier van snelheidsbepaling erg achterhaald maar de snelheid op zee wordt nog steeds in knopen uitgedrukt.

Het horloge als navigatie-instrument
Hoe raar het ook klinkt, het horloge kan makkelijk worden gebruikt om je koers te bepalen. Voorwaarde is dan natuurlijk wel dat de zon schijnt en dat je een analoog horloge gebruikt.
Deze methode gaat uit van het principe dat de zon altijd hetzelfde verloop vertoont: opkomst in het oosten, hoogste punt in het zuiden en ondergang in het westen. Door dit vervolgens te vergelijken met de tijd die je horloge weergeeft kun je dus bepalen waar het zuiden (en dus ook de andere windstreken) is.
Het werkt als volgt:
De zon draait in 24uur om de aarde en een horloge in 12uur een ronde. Als het 12uur is staat de zon precies in het zuiden. Als je een horloge zou hebben dat in 24 uur een ronde zou doen en de 12 (in de zomer neem je de elf, omdat er dan zomertijd geldt) naar het zuiden wijst dan wijst de kleine wijzer naar de zon. Omdat een horloge in 12uur een ronde draait is de omwentelingssnelheid 2 maal zo hoog, hierdoor is de hoek ook 2 maal groter. Nu is het zuiden(zie afb.) het middelste punt tussen de zon en de 12.

Deze methode werkt alleen op het noordelijke halfrond van de aarde. Mocht je het willen toepassen op het zuidelijke halfrond, dan moet je niet de kleine wijzer, maar de plaats van de twaalf op je wijzerplaat naar de zon richten. Dan geldt dat het middelste punt tussen de kleine wijzer en de twaalf richting het noorden wijzen.

Lengtebepaling
Als je de breedtegraad en het noorden kunt bepalen weet je nog steeds niet waar je nou precies bent. Pas als je ook je lengtegraad(oost west richting) kunt bepalen weet je precies waar je bent.
De sleutel tot de bepaling van de lengte is een zeer nauwkeurige klok. Vandaag de dag zijn alle horloges nauwkeurig tot op enkele tienden van seconden over een periode van een jaar. Maar vroeger (rond 1500) werkte men nog steeds met een zandloper en deze was tot op een uur nauwkeurig over een periode van een dag.
Men wist al lange tijd dat de aarde een bol was en dat de aarde elke 24uur een maal om zijn as draaide ten opzichte van de zon. Ook wist men dat de zon om 12 uur op zijn hoogst stond, onafhankelijk van waar je je op aarde bevindt. Als ze de exacte tijd konden bepalen op lengtegraad 0 en ze de tijd wisten waarop de zon op zijn hoogst is, op hun huidige locatie. Dan konden ze hun lengtegraad bepalen door het verschil in tijd. Hierbij staat een uur tijdsverschil gelijk aan 360/24=15graden. Stel dat je naar een punt X bent gereisd en dat je op punt Y bent vertrokken. Je horloge staat nog steeds op “Y tijd” met de zon op zijn hoogst op 12.00 uur. Op punt X staat de zon nu op zijn hoogst en het is 14.30 uur op je horloge. Je bent dan nu (14.30-12.00) maal 15 graden= 37,5 lengtegraden van punt Y verwijderd.
De eerste klokken die op ongeveer tien minuten per dag nauwkeurig waren werden pas in 1700 gemaakt. Deze klokken waren enorm duur en dus niet beschikbaar voor iedereen. Na een paar weken op zee konden deze klokken erg onnauwkeurig zijn en een afwijking geven van vaak duizenden zeemijlen.

Moderne navigatie.

Zoals je in het vorige hoofdstuk al hebt kunnen lezen, wilden mensen vroeger al weten waar ze waren en hoe ze ergens anders konden komen. Door de eeuwen heen heeft men daarom allerlei middelen uitgevonden om zo goed en steeds beter te kunnen navigeren.
Nu heeft men tegenwoordig natuurlijk veel meer elektronische hulpmiddelen. Een logisch gevolg daarvan is dat er nieuwe navigatiemiddelen zijn ontstaan. Hoe werken deze middelen? In dit hoofdstuk gaan we meer vertellen over de moderne navigatie en het meest bekende navigatiesysteem van nu: GPS (Global Positioning System). Omdat dit nogal een breed onderwerp is, hebben we het hoofdstuk onderverdeeld in deelonderwerpen:

- Korte geschiedenis van moderne navigatie.
- Hoe is GPS ontstaan?
- Hoe werkt plaatsbepaling met behulp van GPS?
- De precieze berekeningen die GPS doet.
- De gevolgen van moderne navigatie.

Korte geschiedenis van moderne navigatie.
Vanaf de jaren \'40 kon men voor het eerst m.b.v. elektronische apparatuur navigeren.
Ze gebruikten toen een systeem met zenderketens die in kustwateren stonden. Een groot nadeel van dit systeem was dat het bereik niet groot genoeg was voor de rest van de zee.
Toen er vooruitgang in de ruimtevaart kwam, zorgde dit voor nieuwe mogelijkheden om te navigeren (m.b.v. satellieten). Vanaf 1967 is het systeem SATNAV (SATellite NAVigation) vooral gebruikt. Maar ook dit systeem had een nadeel, omdat er toen nog niet zoveel satellieten gelanceerd waren, kon men vaak niet of onnauwkeurig posities berekenen. Rond 1973 werd dit systeem verbeterd en uiteindelijk werd dit het bekende GPS van nu. In dit hoofdstuk gaan we vooral verder op de werking van dit systeem.

Hoe is GPS ontstaan?
Het GPS is een navigatiesysteem die ontwikkeld is door het Amerikaanse Ministerie van Defensie. Tot begin 2000 stuurden de satellieten expres een fout mee, zodat niet-militaire ontvangers er geen gebruik van konden maken. Doordat het een nauwkeurige driedimensionale plaatsbepaling en snelheidsinformatie over de hele wereld kan geven, is de Amerikaanse Defensie niet langer meer de enige die het gebruikt. Veel burgers kunnen tegenwoordig van het systeem gebruik maken (de opzettelijke fout is nu dan ook verwijderd).

Hoe werkt plaatsbepaling met behulp van GPS?
Veel mensen denken dat het apparaatje waarmee je de positie kan aflezen de GPS is. Dit mag eigenlijk niet het GPS genoemd worden. Dat is namelijk de ontvanger die slechts onderdeel is van het systeem (GPS). Dat systeem bestaat uit 3 ‘onderdelen’:
Onderdeel 1: 24 satellieten.
Onderdeel 2: de GPS ontvangers
Onderdeel 3: een aantal volgstations op aarde

Stel we staan op een punt, voor het gemak noemen we dit punt X. We hebben een GPS ontvanger bij de hand en we willen weten waar we nou precies zijn. Hoe kom je dat te weten en wat doen de onderdelen van het GPS daar precies voor?

De satellieten zenden voortdurend pulsen uit. Deze bevinden zich op een hoogte van ruim 20.000 kilometer in vooraf vastgestelde banen, zoals op de onderstaande afbeelding.

Satellieten in banen om de aarde

De omlooptijd is ongeveer 12 uur, waardoor ze twee keer op en dag langs een van de vijf volgstations op aarde komen. Deze vijf volgstations zijn nodig om de omloophoogte, positie en omloopsnelheid van de satellieten bij te sturen. De positie van de satellieten verandert dan niet buiten de vastgestelde banen. De volgstations komen aan de benodigde gegevens doordat de satellieten een statusrapport uitzenden met die gegevens.

Met de ontvanger kan het tijdstip waarop de uitgezonden pulsen van de satelliet binnenkomen worden gemeten. De satelliet zendt in die pulsen een zogenaamde Pseudo Random Code = P.R.C naar de ontvanger toe. In die boodschap staat dus vermeld op welk tijdstip de puls is uitgezonden, maar ook welke satelliet het is en de positie van de satelliet.

Nu weer terug naar punt X waar we nog steeds staan zonder enig idee waar we nou zijn.
De ontvanger is nu nodig om de P.R.C. van de satellieten te ontvangen. Hiermee kan hij bereken waar het punt ligt. De ontvanger kan dan de afstand berekenen van punt X tot één satelliet. Hiervoor is wel de tijdsbepaling nodig hoelang de puls erover doet om de ontvanger te bereiken.

Aangezien de snelheid van de pulsen (radiosignaal) bekend is, 300.000 km/sec, kan met het sommetje: de afstand worden berekend.
tijdsverschil × snelheid = afgelegde afstand

Dat de tijdsbepaling nauwkeurig gebeurt is in verband met de hoge snelheid van de pulsen enorm belangrijk. De pulsen worden namelijk met lichtsnelheid uitgezonden en een kleine afwijking zorgt al voor een verkeerde positiebepaling:
Neem bijv. 10 sec × 300 000 = 3 000 000 km
zit je hier dan 0,001 sec naast dan krijg je:
9,999 sec × 300 000 = 2 999 700 km
dan heb je dus al een verschil in afstand van 300km!

Om dit probleem op te lossen hebben de satellieten daarom een atoomklok aan boord. Ook houdt de ontvanger rekening met de vertragingen die veroorzaakt worden door de atmosfeer (dit gebeurt automatisch bij het berekenen).
Als je GPS ontvanger het signaal doorkrijgt van één satelliet, dan zal je alleen kunnen berekenen hoever je verwijderd bent van deze satelliet. Hoe komen we dan te weten waar ons punt X ligt? Om je plaats te kunnen bepalen, heb je altijd minimaal drie satellieten nodig. Waarom? Zie hier een voorbeeld ter verduidelijking:
Stel je staat ergens zoals in ons punt X. Je hebt geen idee waar je bent, maar je weet wel dat stad A 120 Km van je verwijderd is.
Je hebt hier niet veel aan, want je weet nu nog steeds niet of je boven, onder, links of rechts van deze stad staat. Als je een cirkel op de kaart tekent, met stad A als centrum en een straal van 120 Km, dan weet je dat je ergens op de buitenste rand van deze cirkel bent. (zie plaatje A hiernaast). Dat zijn dus een enorm aantal posities.

Nu weet je ook nog dat je 50 Km van stad B verwijderd bent, en
je tekent weer een cirkel met nu stad B als centrum en een straal van 50 Km. Nu zie je twee punten waar de cirkels elkaar snijden.
Je weet dan dat je op één van deze twee punten staat (zie plaatje B hiernaast).

Als we nu ook nog de afstand naar een derde stad weten. We weten ook nog eens dat stad C 300 Km verderop ligt. We tekenen nu weer een cirkel op de kaart, nu met stad C als centrum en een straal van 300 Km (zie plaatje C hieronder).

Nu houden we nog maar 1 snijpunt over waar alle drie de cirkels elkaar
snijden ...! Nu weten we waar punt X ligt. (in een 2D ruimte).

GPS werkt op dezelfde manier. De satellieten zenden de pulsen uit, die zich voortplanten in de vorm van bollen. Je krijgt daardoor hetzelfde effect als hierboven uitgelegd. Je krijgt hierbij wel 2 posities, maar omdat er één niet op de aarde is, weet je alsnog waar je bent. Zo kunnen wij dus met een ontvanger ons punt bepalen. Op de volgende bladzijde staan nog wat duidelijke plaatjes met de bolvormen.

Zoals al eerder verteld is een nauwkeurige tijdsbepaling van zeer groot belang voor het bepalen van je positie. Om de tijd in je ontvanger goed te laten lopen heeft GPS daarvoor een handige truc. Een vierde satelliet moet daarbij helpen.
Zoals we al verteld hebben heeft elke satelliet een atoomklok aan boord. Als je dan m.b.v. 3 satellieten een X (op aarde) en een Y (in de ruimte) hebt gevonden (zoals op het plaatje hierboven) kun je een 4e satelliet ook nog je X en Y punt laten bepalen. Stel hierbij dat je ontvanger een afwijking heeft van één microseconde (zie ook voorbeeld begin hoofdstuk). Dit is dan 300 km ernaast. Aangezien de 4e satelliet dan niet op dezelfde punten X en Y uitkomt, weet de ontvanger zichzelf te verbeteren tot op de goede punten X en Y. Hierbij verandert hij ook gelijk zijn tijd, waardoor de tijd in de ontvanger gelijk loopt met een atoomklok!

Satelliet & ontvanger.

Het is hiermee mogelijk je positie te bepalen tot op 10 meter nauwkeurig. Met behulp van speciale militaire apparatuur is het zelfs mogelijk om de positie binnen de 1 meter nauwkeurig te bepalen!
De precieze berekeningen die GPS doet.

-Elk punt P in het figuur hieronder is te schrijven als (x, y, z).
Bijvoorbeeld de oorsprong O = (0, 0, 0).

De afstand tussen O en P is volgens \'Pythagoras\' (door het twee keer te gebruiken):
We nemen driehoek OPV en OVW.
(OV)² = x² + y².
(OP)² = z² + (OV)²
dus: (OP)² = x² + y² + z²

Stel dat P op een bol ligt met O als middelpunt M1 = (0, 0, 0) en straal R1 = OP.
Die bol heeft dan de vergelijking:
x² + y² + z² = R1² (vergelijking 1)

P kan ook op een andere bol liggen. Bijvoorbeeld één met het middelpunt M2 = (a, 0, 0) op de x-as en met straal R2. P kan ook op een derde bol met het middelpunt M3 = (0, b, 0) op de y-as en met straal R3 liggen.
De drie bollen snijden elkaar in P en in nog een ander punt (zie figuur onder):

De bol met middelpunt M2 (a, 0, 0) en met straal R2 heeft dan de vergelijking:
(x-a)2 + y2 + z2 = R2 2 (vergelijking 2)

De bol met middelpunt M3 (0, b, 0) en straal R3 heeft dan de vergelijking:
x2 + (y-b)2 + z2 = R32 (vergelijking 3)

De coördinaten van de twee snijpunten van de drie bollen zijn dan te vinden door de drie bolvergelijkingen op te lossen =>

Uit (2) - (1) volgt dan:
(4) x = (R22 – R12 – a2) / -2a

Uit (3) - (1) volgt:
(5) y = (R3 2 – R12 – b2) / -2b

(1) zorgt voor:
(6) z2 = R12 – x2 – y2

(4), (5) en (6) geven de coördinaten (x, y, z) van de twee snijpunten.

Waarom deze berekening?
M1, M2 en M3 kun je zien als de satellieten. P is een bepaalde positie waar je op staat.
Welke van de twee snijpunten de goede positie op aarde aangeeft, is makkelijk uit te vinden. Eén van de twee snijpunten heeft dan namelijk rare coördinaten (bevindt zich in de ruimte).

De gevolgen van moderne navigatie.
De technische ontwikkelingen zijn erg handig geweest voor de moderne navigatie. GPS werd (zoals ook al aan het begin van dit hoofdstuk vertelt) alleen door de Amerikaans overheid gebruikt. Maar er zijn nu enorm veel mensen die het ook gebruiken. Het is namelijk gemakkelijk als je even op je computertje (ontvanger) intikt waar je heen moet en deze het dan gelijk aangeeft. GPS wordt tegenwoordig overal gebruikt. Op de fiets, motor, boot, auto, vliegtuig etc. Voor elk voertuig bestaat er wel een andere GPS ontvanger. Er zijn dan ook veel verschillende soorten ontvangers over de hele wereld te koop. De vraag is nu, wat zal het GPS opvolgen?

Conclusie.

Heel lang geleden, 3500 v. Chr., met de komst van grote handelsschepen kwam ook de kunst van het navigeren. Dit was nog erg primitief, men had alleen een windroos en nog geen instrumenten. Pas in 1100 n. Chr. kwamen de eerste instrumenten zoal het kruis en het kompas. Deze “evolueerden” in de loop van de tijd en het kompas werd samengevoegd met de windroos en nog later kwamen hier de graden bij. Het kruis werd vervangen door het astrolabium, het kwadrant en de sextant, waarvan de laatste het nauwkeurigste was. Met deze instrumenten kon men alleen hun breedtegraad bepalen. Pas rond 1500 kon men ook de lengtegraad bepalen, maar dit was toen nog geen exacte wetenschap. Met de opkomst van de klok (1700) kwam ook het preciezere navigeren, maar ook dit was niet zo precies. De klokken weken namelijk nogal eens af. Met de komst van de GPS werd echter een ander tijdperk ingeluid en werd al het andere als stofvangers in het museum gestopt.

GPS betekent Global Positioning System. Het is een navigatiesysteem die m.b.v. satellieten, ontvangers en volgstations werkt. Er zijn 24 satellieten die rond de aarde draaien. De volgstations zorgen dat de satellieten steeds dezelfde baan en snelheid blijven houden. De satellieten zenden een radiopuls uit naar de ontvangers. Daarmee kan de ontvanger met wat berekeningen (die in het hoofdstuk uitgelegd worden) je plaats op aarde bepalen. Dit kan zelfs op een meter nauwkeurig worden bepaald! GPS wordt tegenwoordig dan ook overal toegepast: Op de fiets, motor, boot, auto, vliegtuig etc. Voor elk voertuig bestaat er wel een GPS ontvanger. Er zijn dan ook veel verschillende soorten ontvangers over de hele wereld te koop. GPS is zo handig dat iedereen het wil gebruiken en waarom ook niet? Als je ziet hoe de mensen vroeger moesten navigeren zijn ze waarschijnlijk erg jaloers op al onze nieuwe mogelijkheden.

Maar wees wel gewaarschuwd wanneer je GPS gebruikt, je batterijen kunnen altijd op de meest ‘onmogelijke’ momenten leeg raken. Dan kan de moderne navigatie je niet meer helpen, dus misschien maar gelukkig dat er nog steeds de oude navigatie middelen (zonder batterijen of accu) bestaan!

Literatuurlijst.

Boeken:
-Europa en de Buitenwereld (1150-1350), Berents D., 1e druk Malmberg, Den Bosch 1997.
-Scheepvaart van de vikingen, Christensen A. E., 1e druk Unieboek b.v., Bussum 1977.
-Marco Polo en de zijderoute, Drège J., 1e druk Uitgeverij Dick E.H. de Boer, 1933.

Internetsites:
http://home.hccnet.nl/f.abbing/gps/gpsnof2/gps.html
www.automotivecenter.nl/students/pproject/assets/Erwin%20Geert%20Peter/worddocumenten/gps.doc
http://130.161.129.69/hlf/a032.pdf
www.artis.nl/main.php?pagina=paginas/t/planetarium/voorstellingen/varenopdesterren.html
www.zuyderzeecollege.nl/zc1/vakken/anw/opdr/navigatie/navigatie.htm
http://eurosweb.student.utwente.nl/azoren/tips_trucs.html.
www.ipacity.nl/Geschiedenis.htm
http://home.t-online.de/home/h.umland/index.htm
http://members.lycos.nl/lexicografie/lexa.
www.hiking-site.nl/navigatie_kompas_positie.php
www.boatsafe.com/
www1.minn.net/~keithp/cn.htm
www.nlr.nl/public/hosted-sites/satnav/download/nlr_flyer.pdf
www.artis.nl/main.php?pagina=paginas/t/planetarium/voorstellingen/varenopdesterren.html

Deze sites hebben we allemaal kunnen vinden door www.google.nl (eigenlijk toch wel de belangrijkste site dus).