som van de ogen van drie dobbelstenen

Inleiding

Wij hebben gekozen voor de opdracht De Som van de Ogen bij Drie Dobbelstenen. Wij hebben dit onderwerp gekozen omdat wij vonden dat deze het best bij ons paste aangezien wij deze allebei heel goed begrepen. Met dit onderzoek willen wij aantonen wat de kansverdeling is van de som van de ogen bij drie dobbelstenen en de verwachtingswaarde van de som. We zijn van plan eerst de theoretische verwachtingswaarde te berekenen door gebruik te maken van combinaties. Vervolgens simuleren wij het gooien van de dobbelstenen 216 keer (dit is het aantal mogelijke uitkomsten) met behulp van de grafische rekenmachine. Hoofdstuk I: Theoretische Kans In dit gedeelte van ons werkstuk laten wij zien wat de kansverdeling en de verwachtingswaarde is van de som van de ogen als je gooit met drie dobbelstenen. Eerst willen wij de theoretische kans laten zien van de mogelijke uitkomsten, dit loopt op van drie ogen tot achttien ogen. Per onderdeel (van 3 t/m 18) geven wij apart de kans op het gooien van deze som met drie dobbelstenen. Dit hebben wij als volgt gedaan: er zijn 216 mogelijke combinaties die je kan gooien met drie dobbelstenen. Dit antwoord hebben wij gevonden door het aantal ogen dat de dobbelstenen hebben met elkaar te vermenigvuldigen, dus:

6 x 6 x 6 = 216

De combinatie wordt gevormd door drie cijfers, het aantal ogen van de eerste, tweede en derde dobbelsteen. Als er dus 3 met de eerste dobbelsteen, 2 met de tweede en 1 met de derde wordt gegooid is de combinatie respectievelijk 321. Zoals te zien is, staat er op de volgende bladzijde een overzicht van alle 216 mogelijk combinaties, per onderdeel. Ook hebben wij hiermee de kans berekend, als volgt: we hebben de mogelijke combinaties geteld, bijvoorbeeld bij het onderdeel 14. Er zijn 15 gunstige combinaties, van de 216 mogelijke combinaties. Dit hebben we als de kans weergegeven: 15/216. Zie bladzijde 4 voor dit overzicht.

Som Mogelijkheden Kans
3: 111 1/216
4: 211 3/216
5: 311 131 6/216
221 122
212 131
6: 411 231 132 10/216
321 213 123
312 222 141 114
7: 511 331 241 223 142 15/216
421 313 214 151 124
412 322 232 115 133
8: 611 431 341 323 242 161 125 21/216
521 413 314 251 224 116 143
512 422 332 215 233 152 134
9: 621 513 414 351 324 216 243 126 25/216
612 522 432 315 333 252 234 153
531 441 423 342 261 225 162 135 144
10: 631 541 523 442 361 325 262 235 136 27/216
613 514 451 424 316 343 226 244 154
622 532 415 433 352 334 253 163 145
11: 641 623 542 461 425 362 335 236 164 27/216
614 551 524 416 443 326 344 254 146
632 515 533 452 434 353 263 245 155
12: 651 624 516 543 426 444 354 246 156 25/216
615 633 552 534 453 363 345 255
642 561 525 462 435 336 264 165
13: 661 625 562 535 436 364 265 21/216
616 643 526 544 454 346 256
652 634 553 463 445 355 166
14: 662 635 536 464 365 15/216
626 644 554 446 356
653 563 545 455 266
15: 663 645 545 366 10/216
636 564 555
654 546 465
16: 664 565 6/216
646 556
655 466
17: 665 3/216
656
566
18: 666 1/216

Hieronder hebben wij de gegevens van het overzicht van de mogelijke combinaties in een tabel gezet, voor een overzichtelijker geheel. Zo is hier ook weer per onderdeel aangegeven hoe groot de kans is dat de som S wordt gegooid. Alle kansen bij elkaar van onderdeel 3 tot en met 18 zijn samen 1, waarmee gecontroleerd is dat de kansverdeling met de combinaties klopt. Hier is dus in feite de kansverdeling in tabel gebracht.

s 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(S=s) 1/216 3/216 6/216 10/216 15/216 21/216 25/216 27/216 27/216 25/216 13 14 15 16 17 18
21/216 15/216 10/216 6/216 3/216 1/216

Nu wij de kansverdeling hebben is het mogelijk om de verwachtingswaarde van de som van de ogen E(S) uit te rekenen. Dit is dus het gemiddelde van wat er verwacht wordt dat je gooit, als je met drie dobbelstenen gooit. Hieronder staat de berekening van de verwachtingswaarde van de som van het aantal ogen van drie dobbelstenen.

E(S)= 3x1/216 + 4x3/216 + 5x6/216 + 6x10/216 + 7x15/216 + 8x21/216 + 9x25/216 + 10x27/216 + 11x27/216 + 12x25/216 + 13x21/216 + 14x15/216 + 15x10/216 + 16x6/216 + 17x3/216 + 18x1/216 = 10,5 Hoofdstuk II: Simulaties

Nu wij weten wat de kansverdeling en de verwachtingswaarde is van de som van de ogen bij het gooien met drie dobbelstenen, is het mogelijk om een dergelijke simulaties uit te voeren. We hebben eerst practicum 5 doorgelezen en gemaakt waardoor wij begrepen hoe we simulaties maken. Bij het volgende gedeelte simuleren wij 216 keer het gooien met drie dobbelstenen. Wij hebben dit getal gekozen, omdat dit net zo veel is als het aantal mogelijke uitkomsten als je gooit met drie dobbelstenen en zo is het makkelijk te vergelijken met de kans die wij eerder hebben berekend. De volgende formule is ingevoerd in de grafische rekenmachine om de simulatie (de som van de ogen met het gooien van drie dobbelstenen) uit te voeren: Met Ran# kiest de grafische rekenmachine een willekeurig getal. Door er 6Ran#+1 van te maken, kiest de GR een willekeurig cijfer tussen de 1 en de 6. Maar omdat het hele getallen moeten zijn, staat er Intg voor, dat zorgt voor een afgerond getal. De volgende formule was het resultaat:

Formule: Intg(6Ran#+1) +Intg(6Ran#+1) +Intg(6Ran#+1)

Deze formule hebben we 216 keer ingevoerd en gekeken naar de uitkomsten. Deze hebben we vergeleken met de kansverdeling. Het resultaat hiervan geven we hieronder.

Som Gegooid Kans op de 216
3: 0 1
4: |||| 4 3
5: |||| 5 6
6: |||| |||| 10 10
7: |||| |||| || 12 15
8: |||| |||| |||| |||| | 21 21
9: |||| |||| |||| |||| || 22 25
10: |||| |||| |||| |||| |||| |||| |||| || 37 27
11: |||| |||| |||| |||| |||| |||| | 31 27
12: |||| |||| |||| |||| | 21 25
13: |||| |||| |||| 15 21
14: |||| |||| ||| 13 15
15: |||| |||| |||| 14 10
16: |||| || 7 6
17: |||| 4 3
18: 0 + 1 + 216 216

Gemiddeld gegooid: 2281/216 = 10,56
Gemiddelde verwachtingswaarde = 10,5

Hieruit blijkt dat onze kansverdeling en verwachtingswaarde aardig met de werkelijkheid overeenkomt, wat natuurlijk heel verrassend om te zien is. Conclusie

Met dit niet al te grote, maar toch uitgebreide onderzoek zijn we toch achter bepaalde feiten gekomen, die interessant blijken te zijn. We zijn er bijvoorbeeld achtergekomen dat wij in staat waren om de verwachting te berekenen van een dobbelspel, wat heel handig kan zijn. Maar voor het wiskundig vlak hebben wij aangetoond dat de theoretische verwachtingswaarde en kansverdeling heel goed overeenkomt met de realiteit. Zoals wij van te voren hadden berekend dat je waarschijnlijk het meest een som van 10 of 11 ogen gooit, is ook uitgekomen toen wij deze gebeurtenissen gingen simuleren. En dit blijkt met nog andere getallen. Maar zoals ook te zien is in onze tabellen/overzichten, kunnen de cijfers ook sterk van elkaar afwijken, maar dit is gelukkig niet vaak voorgekomen. Het was een leuk werk om dit onderzoek te doen, we hebben het met plezier gedaan, vooral toen we erachter kwamen dat de theorie overeenkomt met de praktijk. Het is grappig dat wiskunde niet alleen theoretisch, maar vooral ook praktisch klopt. Ook omdat wij deze opdracht snel snapten, was het een leuk werk. We zijn geen wiskundige problemen tegen gekomen, wat maar weer bewijst hoe goed deze opdracht ons ligt! We hopen dat deze opdracht goed uitgevoerd is door ons, aangezien we er toch veel werk aan hebben gehad.