Fractals

Inleiding
De opdracht was simpel: maak een werkstuk over Fractals. Hiervoor kregen we een blad uitgereikt met verschillende links, uitleg over hoe het verslag er uit zal moeten zien en enkele vragen. Deze vragen zijn uitgewerkt in hoofdstuk 1. We moesten ook zelf nog vijf vragen verzinnen, deze zijn uitgewerkt in hoofdstuk 2. voor de vragen die behandeld worden, wil ik u verwijzen naar de inhoudsopgave.

Hoofdstuk 1

In dit hoofdstuk zullen wij de vragen van het stencil behandelen, die al gegeven waren. De zogenaamde startvragen.
1a wat is een fractal?
1b waar komt de naam fractal vandaan?
(hier komt ilse’s antwoord)

2 laat met behulp van de formule zien dat de dimensie van een plat vlak 2 is en van een ruimte 3.

Met beweerd over het algemeen het volgende:
Maar hoe weet ik nu of dat klopt? Daarvoor is de formule gegeven op het vooraf gegeven stencil.
De formule voor dimensie is: d= log n
log v
hierin is d de dimensie, n de vermenigvuldigingsfactor en v de verkleiningsfactor.de vermenigvuldigingsfactor is hoe vaak het figuur herhaald word in het oorspronkelijke figuur. Zoals hieronder zie je dat in de basis kubus vier andere kubussen geplaatst worden. De verkleiningsfactor is de lente van het oorspronkelijke figuur gedeeld door de lengte van het figuur van het tweede figuur. Als voorbeeld hiervan nemen we een plat vlak:

Als we de gegevens van dit vlak in de formule zetten krijgen we dus d= log 4
log 2 = 2
doen we ditzelfde met een ruimte, dan krijgen we het volgende:

nu is de formule d= log 8
log 2= 3

3a Bereken de dimensie van de kromme van Koch.
Maar wat is eigenlijk de kromme van Koch? Deze kromme is een gelijkbenige driehoek, waarin steeds de middelste driehoek verwijderd word, zoals in de illustratie hieronder:

de formule van dimensie is d= log n
log v
in de eerste driehoek worden, na verwijdering van de middelste, drie nieuwe driehoeken zichtbaar. De vermenigvuldigingsfactor is dus 3. De lengte van de benen van zo’n kleinere driehoek is twee keer zo klein als de driehoek waar mee we zijn begonnen, dus de v is 2:
d= log 3
log 2= 1,585…
zoals je ziet is de uitkomst geen mooi rond getal, zoals bij vraag 2 (het vlak en de kubus) wel het geval was. Dit heet een gebroken dimensie en is een van de kenmerken van een fractal. Meer hierover onder vraag 5: beschrijf enkele eigenschappen van een fractal.

3b bereken ook de dimensie van enkele andere fractals
voor deze vraag kies ik voor de volgende fractal, ik weet niet of die een naam heeft:

de formule voor dimensie kent u ondertussen waarschijnlijk wel
n is hier: 5
v is hier: 3
dan krijg je dus: d= log 5
log 3= 1,464973521

Een andere fractal kan zijn:

n is hier: 7
v is hier: 3
dan krijg je dus: d= log 7
log 3= 1,771243749

4a wie wordt de peetvader van de fractals genoemd?
4b beschrijf de fractal die naar hem genoemd is
5 Beschrijf de eigenschappen van fractals

Hoofdstuk 2

Wat is het nut van fractals?
Wiskundige zijn al eeuwenlang in de weer om een zo moeilijk mogelijke functie toch logisch te maken. Zo hadden op een goeie dag een stel een hele moeilijke tekening gemaakt, waarvan zij dachten dat hij extreem ingewikkeld was. Mandelbrot toonde echter aan dat het eigenlijk heel makkelijk was, en bedacht de formule voor dimensies. Hiermee kon hij eigenlijk ook meteen de logica van bergketens, kustlijnen en andere natuurfenomenen verklaren. . De gewone geometrische constructies met rechte lijnen en gladde krommen en oppervlakten waren ontoereikend om de ingewikkelde patronen uit de natuur te begrijpen en te beschrijven.

Wat hebben complexe getallen te maken met fractals?

Inleiding:
De eerste getallen waar je als kind mee te maken krijgt zijn de gehele getallen 1,2,3...
Op de basisschool wordt dat uitgebreid, eerst met het getal 0 en de negatieve gehele getallen. Sommetjes zoals 7 + x = 3 kun je dan oplossen, maar 7x = 3 nog niet. De volgende stap is daarom dat de breuken (rationale getallen) worden ingevoerd. Bijvoorbeeld 3/7 = 0.428571428...
We zijn dan al een heel eind, maar een sommetje zoals x2 = 2 heeft nog steeds geen oplossing. De getallenverzameling wordt daarom op de middelbare school uitgebreid met \"wortelgetallen\" ofwel de reële getallen zoals √2 = 1.41421356...

Het getal i:
Er blijft nog één onoplosbaar sommetje over, namelijk x2 = -4.
Wortels trekken uit een negatief getal kan niet. Of wel?
Wiskundigen hebben een nieuwe term in de wereld geholpen om bovenstaande som te kunnen oplossen: de term i. i staat voor √-1. Hieruit volgt i2 = -1.

We gaan eerst het rekenen van getallen eens op een wat ongebruikelijke manier bekijken. Laten we getallen eens opvatten als \"vectoren\", pijltjes met een lengte die een bepaalde richting hebben. Die richting kunnen we uitdrukken in de hoek die de pijl maakt met bijvoorbeeld de positieve x-as.
Het getal +2 is dan een pijl met lengte 2 die een hoek van 0 graden maakt met die positieve x-as. Omdat hoeken na 360 graden weer hetzelfde zijn, kun je ook zeggen dat het pijltje een hoek van 360 graden maakt (of 720, enz)
Het getal -2 is een pijl met lengte 2 die een hoek maakt van 180 (of 540 enz) graden met de positieve x-as.

We spreken nu \"nieuwe\" regels af voor het vermenigvuldigen en delen van getallen en voor worteltrekken en kwadrateren:
Vermenigvuldigen: Vermenigvuldig de lengtes van de pijltjes en tel de hoeken op.
Delen: Deel de lengtes van de pijltjes en trek de hoeken van elkaar af.
Worteltrekken: Trek de wortel uit de lengte en halveer de hoek.
Kwadrateren: Kwadrateer de lengte en verdubbel de hoek.

Neem bijvoorbeeld: x = (-2).(-3)
Volgens de \'gewone\' regel is het antwoord x = +6, want \"min keer min is plus\".
Volgens de nieuwe regel: De lengte van de pijl wordt 6 en de hoek wordt 180 + 180 = 360 graden, antwoord is dus x = +6
Nog een voorbeeld: x2 = 4
Oude regel: het antwoord is x = +2 of -2 , er zijn twee oplossingen, dat was de afspraak
Nieuwe regel: de wortel uit de lengte is 2, de gehalveerde hoek wordt 0/2=0 of 360/2=180 graden. Dus twee oplossingen, die vanzelf uit de nieuwe regel volgen!

Tot nu toe niets nieuws, maar laten we nu eens kijken naar x2 = -4. Onze nieuwe regel voor worteltrekken geeft nu:
De wortel uit de lengte is 2, de gehalveerde hoek wordt 180/2=90 of 540/2=270 graden.

Op zich geen probleem, maar het resultaat is verrassend: deze getallen liggen niet meer op de getallenlijn! Het zijn pijltjes met lengte 2 die loodrecht op die getallenlijn staan.
We zullen dus onze verzameling getallen moeten uitbreiden met getallen in een vlak, het complexe getallenvlak

Sommetjes zoals x2 = -4 kunnen we oplossen, wanneer we toestaan dat getallen niet uitsluitend op de getallenlijn hoeven te liggen, maar dat ze ook in een getallenvlak kunnen liggen.
Getallen in dit vlak noemen we complexe getallen.
Omdat we nu met een vlak te maken hebben, is het handig om twee \"coördinaat\" assen in te voeren. De getallenlijn waar we tot nu toe altijd mee gewerkt hebben, noemen we de reële as en de as loodrecht daarop door het getal 0 noemen we de imaginaire as.
De eenheid langs de imaginaire as noemen we i

Het voordeel van deze assen is dat we complexe getallen dan op twee manieren kunnen vastleggen.
• Door de lengte van de pijl en de hoek die de pijl maakt met de positieve reële as.
• Door de pijl te \"ontbinden\" en de lengte te geven van het reële deel en het imaginaire deel.

We noteren het reële deel van c als Re(c) en het imaginaire deel als Im(c).
Stel dat we voor een complex getal vinden Re(c) = 3 en Im(c) = 2.
Het getal wordt dan vaak op de volgende manier genoteerd: 3 + 2i
De oplossingen van het bovenstaande sommetje zijn met die schrijfwijze: ±2i , want deze getallen lagen op de imaginaire as en hebben dus geen reëel deel.
Nog een voorbeeld: x2 - 6x + 13 = 0
Toepassing van de abc-formule levert, na vereenvoudiging op dat de oplossingen van deze vierkantsvergelijking gegeven worden door 3 ± √-4, dus door 3 ± 2i

Aantrekkers:
Als je je eens verveelde tijdens een wiskundeles heb je dit vast al wel eens uitgeprobeerd. Je pakt een willekeurig getal, zeg 2, en je kwadrateert het. De uitkomst daarvan, 4, kwadrateer je ook weer, en zo ga je verder. Dit proces heet itereren.
ITEREREN: een bewerking uitvoeren op een getal en dan de uitvoer opnieuw als invoer gebruiken.
Het getal wordt steeds groter, en uiteindelijk wordt het getal zó groot dat het rekenmachientje het niet meer aankan en een foutmelding geeft. Dit getal gaat dus naar oneindig toe. Aangezien negatieve getallen na kwadrateren positief worden geldt dit ook voor negatieve getallen.
Maar! Wat als je een getal tussen –1 en 1 kiest? Je zult merken dat al deze getallen steeds kleiner worden, maar toch net geen 0 worden. Toch worden alle getallen aangetrokken door 0. 1 en –1 zijn uitzonderingen, die de grens vormen tussen
Samengevat: de parabool y = x2 heeft een aantrekker in het punt x = 0, voor startwaarden tussen -1 en +1.

We zijn nu eindelijk zover dat we echt aan de slag kunnen: we gaan weer onze parabool functie y = x2 + c itereren, maar gebruiken nu startwaarden die complex (kunnen) zijn. Voorlopig houden we de waarde van c nog even reëel. Aantrekkingsgebieden zijn nu niet meer stukjes van de getallenlijn, maar gedeeltes van het complexe vlak. In de figuren hieronder is het gebied waarin de getallen worden aangetrokken, zwart weergegeven, en de aantrekkers als rode kruisjes.

Laten we nog eens kijken naar c = 0. Het resultaat is hiernaast weergegeven. Eigenlijk niet erg verrassend. We hadden gezien, dat alle reële getallen tussen -1 en 1 naar het punt 0 werden aangetrokken en we zien nu dat in het complexe vlak alle getallen naar nul worden aangetrokken die een lengte hebben kleiner dan 1.

Het wordt interessanter wanneer we kijken naar c = - 0.5 We hadden daar gevonden dat alle reële getallen tussen -1.336 en 1.336 aangetrokken werden door het punt 0.336. En dat is ook in de figuur hiernaast terug te zien. Maar wie verwacht had dat nu alle complexe getallen met lengte 1.336 naar dat punt zouden worden aangetrokken, komt bedrogen uit. Het is een grillige figuur met een rand die er rafelig uitziet. Wanneer je die rand uitvergroot, zul je vinden dat hij fractaal is, dezelfde rafeligheid blijft bestaan.

Nog verrassender wordt het bij de derde situatie die we bekeken hadden, c = - 1. Daar hadden we een dubbele aantrekker gevonden met waardes 0 en -1. En die vinden we hier wel terug , maar grillig is duidelijk te zwak uitgedrukt voor de figuur hiernaast.
Dit soort figuren worden Julia fractals genoemd, naar de Franse wiskundige Gaston Julia.

Julia fractals zijn dus de gebieden van punten in het complexe vlak, voor een gegeven waarde van c, die bij itereren niet naar oneindig gaan.
Wat gebeurt er wanneer we ook voor c zelf een complex getal kiezen? Links zie je het resultaat voor Re(c) = - 0.5 en Im(c) = 0.55 Nu is ook de aantrekker (een vijfdubbele in dit geval) zelf complex.

Punten die buiten het donkere gebied liggen, gaan bij itereren naar oneindig, en des te sneller naarmate ze verder naar buiten liggen. Dit levert een boeiende manier om kleur te geven aan de Julia Fractal. We kleuren de fractal zelf zwart, en in het buitengebied bepalen we voor elk punt hoeveel keer itereren er nodig zijn, voordat de uitkomst van het itereren (een complex getal) een lengte heeft die groter is dan een gekozen grenswaarde. We geven dat punt dan een kleur die afhangt van dit aantal iteraties.

Op die manier is de figuur hiernaast ontstaan. De c-waarde is in deze figuur is Re(c) = 0.325 en Im(c) = 0.417.
Naarmate het langer duurt voor het itereren bovengenoemde grens overschrijdt, wordt de kleur witter.

Julia en Mandelbrot:
Als je aan het experimenteren bent met applets om Juliafractals te maken, zul je merken dat er vaak een c-waarde is die geen fractal oplevert. Benoit Mandelbrot heeft onderzocht bij welke waarden van c er wel sprake is van Juliafractals, en bij welke waarden niet. Dit leverde een uiterst complexe figuur op, die zelf ook weer een fractal vormde. Het beroemde ‘appelmannetje’, dat zelfs in het Guinness Book of Records werd opgenomen als het meest ingewikkelde wiskundige object’.
De uitstulpingen op deze figuur zijn verkleinde en soms ook vervormde kopieën van de hele figuur, en dit blijft maar doorgaan, hoe ver je ook inzoomt. Met kleurgebruik zoals we al eerder hebben besproken levert dit schitterende fractals op.

Je kunt wiskundig aantonen dat, wanneer voor een c-waarde er een aantrekkingsgebied is, de startwaarde x = 0 daar altijd in ligt. Dat levert de manier op om de Mandelbrot verzameling te maken. Voor elke waarde van c, gaan we na of de startwaarde 0 bij itereren aangetrokken wordt, of naar oneindig gaat.

Wanneer het punt naar oneindig gaat (en dus niet tot de Mandelbrotverzameling behoort, kunnen we weer nagaan hoe snel dat gebeurt, en afhankelijk daarvan een kleur toekennen. Het resultaat zie je in de figuur hiernaast.

Complexe getallen zijn dus zoals je ziet zeer belangrijk bij het ontstaan van fractals, en door complexe startwaarden te gebruiken, en met een beetje hulp van Mandelbrot, ontstaan de mooiste fractals die je je maar kunt bedenken.

Meest voorkomende toepassingen van fractals in de natuur

Hoewel men het op het op het eerste zicht niet zou zeggen zijn vele zaken uit de natuur voorstelbaar via fractals. We gaan hier enkele aanhalen en ze een beetje toelichten.

• Landschappen kunnen door fractals zeer goed worden voorgesteld. Fractals kunnen ook gebruikt worden om eigenschappen van landschappen te berekenen, zoals de kustlijn van Groot-Brittannië.
• Bepaalde slakkenhuizen van dieren kunnen ook door fractals worden voorgesteld. Meestal gaat het dan om de logaritmische spiraal. Dit is wel geen echte fractal, maar het is toch ook een wiskundige benadering van de werkelijkheid.
• Ook bepaalde fenomenen uit de natuur zijn zeer goed voorstelbaar door fractals, bijvoorbeeld de bliksem.
Landschappen
Landschappen kun je op verschillende manieren benaderen. In de eerste methode starten we met een grote basisdriehoek. Op elk hoekpunt kiezen we willekeurig een hoogte. We verdelen deze driehoek dan in vier deeldriehoeken. Hierdoor ontstaan drie nieuwe hoekpunten.Daar wordt opnieuw de hoogte van bepaald via interpolatie van zijn onmiddellijke buren.. Deze procedure herhalen we. Dit levert ons in een volgende stap 16 kleinere driehoeken en 9 nieuwe hoekpunten waarvan we de hoogte weer op dezelfde manier bepalen. Onderstaande figuur geeft een overzicht :

Een andere methode werkt niet via driehoeken, maar met vierkanten. Elke nieuw vierkant is half zo klein als het voorgaande. Hierbij wordt de hoogte van het middelpunt berekend door interpolatie over zijn vier dichtste buren: zijn eigen hoekpunten. Ook hier kijken we verder over steeds kleinere vierkanten. Een voorbeeld van het resultaat wordt gegeven in de volgende
figuur:

Kustlijn
Als men de lengte een kustlijn wilt berekenen doet men dat meestal via de Kromme van Koch (zie startvraag 1). De lengte hiervan is simpel afleidbaar uit zijn constructie. Als we stellen dat de lengte van een nulde orde kromme 1 is, dan is de lengte van de eerste orde kromme 4 maal 1/3 of 4/3. Voor een tweede orde zijn dit dan 16 lijnstukken van lengte 1/9. De totale lengte van de Koch kromme is dus :
(4/3) n =
(n is de hoeveelste kromme)

Zoals je ziet de uitkomst als je lang doorgaat oneindig, en dat kan natuurlijk niet als men kijkt naar kustlijnen. Daarom klopt het ook niet helemaal. Het zijn maar benaderingen. In de werkelijkheid bereken we via geografische kaarten die we hebben hoelang de kustlijn is. Hoe beter de kaart is hoe beter de benadering. In de volgende afbeelding zie je een voorbeeld daarvan.
Aantal zijden Nauwkeurigheid (km) Lengte (km)
6 500 3000
12 258.82 3106
24 130.53 3133
48 65.40 3139
96 32.72 3141
192 16.36 3141

Wat is chaos?

Opnieuw aantrekkers:
Wanneer c kleiner is dan -2 of groter dan 0.25 , is er geen aantrekker, elke startwaarde gaat bij itereren naar oneindig.
Wanneer c ligt tussen -0.75 en 0.25 is er een enkelvoudige aantrekker.
Er is een dubbele aantrekker voor waarden van c tussen -0.75 en -1.25.
Verlagen we de waarde van c nog verder, dan volgt er een klein gebiedje met een vierdubbele aantrekker, daarna een nog kleiner gebiedje met een achtdubbele aantrekker
Maak je de c nog iets negatiever, dan stopt deze zogenaamde periodeverdubbeling en gebeurt er iets heel merkwaardigs: er is wel een gebied van startwaarden dat wordt aangetrokken, maar het itereren gaat niet naar een aanwijsbare (meervoudige) aantrekker toe. Er is geen enkele regelmaat meer te herkennen.
We noemen dit chaotisch gedrag en de aantrekker die er aan de ene kant wel en aan de andere kant niet is, noemen we een vreemde aantrekker. Rond dit chaotisch gedrag heeft zich een geheel nieuwe wetenschap ontwikkeld, de Chaostheorie.
Nog merkwaardiger: in het chaosgebied zijn toch nog gebiedjes te vinden, waar wel een normale aantrekker is. Bijvoorbeeld in de buurt van c = -1.76 is er een driedubbele aantrekker!

In een grafiek uitgezet:
Deze conclusies zijn ‘samengevat’ in een figuur, die door de Amerikaan Mitchell Feigenbaum is ontwikkeld. De Feigenbaumgrafiek.
Toelichting:
Voor elke waarde van c zijn de aantrekkers als rode/groene punten aangegeven op een horizontale lijn door c.
Bij voorbeeld: voor c = -0.75 hadden we een dubbele aantrekker gevonden: 0 en -1. Trek je een horizontale lijn door het punt y = -1 dan zie je dat die inderdaad de boom snijdt in de punten 0 en -1.
Trek je de horizontale lijn wat lager, dan passeer je een vertakking en krijg je vier snijpunten, etc.
Wat dieper begint de chaos: de hele lijn is groen.
Maar er zijn (meerdere) plaatsen, waar weer orde optreedt.
Die bij c = -1.76 is de grootste.
Voor c groter dan 0.25 of kleiner dan -2 treedt er in het geheel geen aantrekking meer op.
Let goed op hoe de Mandelbrotfractal is geplaatst, deze staat anders dan in de voorgaande grafieken.

Chaos is eigenlijk een complex gebeuren waar geen structuur in zit, hoewel er soms weer orde toetreedt. We noemen een proces chaotisch, wanneer we niet kunnen voorspellen wat er gaat gebeuren.
Vergelijk het met een rommelige kamer. Een vreemde die in zo’n kamer de bewoner iets laat opzoeken, kan niet voorspellen waar het voorwerp zich bevindt. Pas na een aantal voorwerpen opgezocht te laten hebben kan de vreemde beginnen structuur te zien in de ‘chaos’.
Fractals zijn zo gigantisch complex, dat ze voor buitenstaanders (mensen die zich er niet in hebben verdiept) als te chaotisch en toch zeer mooi worden afgedaan. Mooi om naar te kijken, maar te ingewikkeld om te begrijpen.

In het verdubbelingsgebied is alles voorspelbaar. Een startwaarde van x komt, vaak na een \'aanloopje\', in een cyclus terecht. Wanneer we een andere startwaarde kiezen, is het aanloopje misschien verschillend, maar ook dan kom je in dezelfde cyclus terecht.
In het chaotisch gebied komt een startwaarde van x niet meer in een cyclus terecht, maar springt op onvoorspelbare wijze heen en weer.
Bovendien blijkt dat voor andere startwaarden, zelfs als ze vlak in de buurt van de eerste liggen, de iteraties al snel van elkaar gaan verschillen.
Deze gevoeligheid voor de keuze van de startwaarde blijkt karakteristiek te zijn voor alle chaotische systemen. Een bekend voorbeeld van een chaotisch systeem zijn de processen rond luchtdruk en temperatuur, die zich in de atmosfeer afspelen en die het weer bepalen. De Amerikaanse meteoroloog Lorenz ontdekte in die tijd min of meer bij toeval dat de resultaten van zijn modelberekeningen heel anders werden, wanneer hij invoergegevens gebruikte die een fractie verschillend waren.

Chaos is dus een van de kenmerken van fractals, en het veroorzaakt onvoorspelbaarheid. Er is geen echte structuur in te vinden, al kunnen kleine stukjes in de chaos WEL structuur hebben. Kijk naar het gebied rond –1.76, waar een duidelijke driedubbele aantrekker blijkt te zijn.

Gebruikte literatuur

Hieronder staan de bronnen waar we het meest aan hebben gehad, maar omdat we heel internet ondersteboven hebben gekeerd, weten we niet alle sites meer.
www.chaos.pagina.nl
www.wisfact.nl
www.scholieren.com
tijdschrift aarde.nu